高等数学定积分测试题

第八章定积分测试题一、选择题1、darctand()dbaxxx=∫21()arctan()1()arctanarctan()0AxBxCbaD+−．　　　　　．．　．2、2221cosxdxππ−−=∫（）。()0()1()2()4ABCD　　　　　　　　　　3、()dbaIfxx=∫设：，据定积分的几何意义可知（）()()0()0()0()()()()AIyfxxaxbxIBIfxCIyfxxaxbxDIyfxxaxbx===========　．是由曲线及直线，与轴所围图形的面积，所以．　．若，则上述图形面积为零，从而图形的＂高＂．　．是曲线及直线，与轴之间各部分面积的代数和．　．是曲线及直线，与轴所围图形的面积．4、[][]()()fxabfxab函数在闭区间，上连续是在，上可积的（）()()()()ABCD　．必要条件　　．充分条件　．充分必要条件．既非充分也非必要条件．5、[]()()abyfxxaxbabx===由，上连续曲线，直线，和轴围成图形的S=面积（）[]()()d()()d()()()()()d()2bbaabaAfxxBfxxfbfabaCfxxD+−∫∫∫　．　　．　．　　．6、121xdx−∫确定定积分的值（）。()0()11()()22ABCD　　　　　　　　　　7、0131dxx−+=∫（）55()()6633()()22ABCD−−　．　　．　．　．8、210()()d0xxxfxfxxex−≥⎧==⎨⎩∫，若　则，（）11()3()3()3()3AeBeCeDe−−−+−+　．　　．　．　　　．9、232()()fxxxfxdx=+∫－设，则定积分的值等于（）。2200()0()8()()()2()ABCfxdxDfxdx∫∫　　　　　　　　　　　10、[]()()()d()()()xafxabFxfxtaxbFxfx=≤≤∫设在，连续，　，则是的（）[][]()()()()ABCabDab　．原函数一般表示式　　　　　　　　．一个原函数　．在，上的积分与一个常数之差　．在，上的定积分11、[][]()()d()xaFxftxabfxab=∫函数在，上可导的充分条件是：在，上（）。()()()()ABCD　．有界　　．连续　．有定义　．仅有有限个间断点12、11()()()d()nxxfxFxfttFx′=∫设为连续函数，且，则等于（）。22111()(ln)()11()(ln)()111()(ln)()1()(ln)()AfxfxxxBfxfxxCfxfxxxDfxfx++−−　．　　．　．　　．13、221()0()d(1)(2)xfxxfttxxf=+=∫设连续，，且，则（）。()4()221232()1()12222ABCD++−　．　　　　．　．．14、函数f(x)在[a,b]上有界是定积分∫badxxf)(存在的()(A)充分必要条件(B)充分但非必要条件(C)必要但非充分条件(D)既非充分也非必要条件15、202(1)d0()()00xtetxfxfxxxax⎧−⎪≠==⎨⎪=⎩∫，若且已知在点连续，则必有　　　　　，（）。()1()2()0()1AaBaCaDa====−　．　　．　．　　．二、填空题1．120()xxdx−=∫.2．21201xdxx=+∫.3．22cosxxdxππ−=∫.4．估计定积分201(53sin)2xdxπ+∫的取值范围.5．设()fx为连续函数，则[]2()()aaxfxfxdx−−−=∫.6．设22210()xttxFxedtedt−+∫∫＝，则()Ft′=.7．2()xtxfxedt−∫＝，则()fx′=.8．211dxx+∞−∞=+∫.9．设()fx在[]0,1上连续，令2tx=，则10(2)fxdx=∫.10．已知xxe为()fx的一个原函数，求10()xfxdx′=∫.三、简答题1.定积分定义；2.可积准则；3.简述三类可积函数；4简述定积分第一中值定理；5.简述微积分学基本定理；6.什么是积分上限函数。四、计算题1．312xdx−∫；2．1lnexdxx∫；3．002coslim1cosxxttdtx→−∫；4．202(arctan)lim1xxtdtx→∞+∫；5．1154xdxx−−∫；五、证明题1.设)(xf′′在],[ba上连续，证明：)]()([)]()([)(afafabfbfbdxxfxba−′−−′=′′∫2.设函数)(xf在区间],[ba上连续,0)(≥xf但0)(≡/xf.试证明:∫baf0.3.证明计算定积分的Newton-Leibniz公式.。第八章定积分测试题答案一、选择题1、D；2、C；3、C；4、B；5、C；6、B；7、A；8、A；9、A；10、B；11、B；12、C；13、C；14、D；15、C。二、填空答案：1．11113333；2．π11114444−−−−；3．0；4．[]2,4ππ；5．0；6．422xxxee−−；7．22xxxee−−−；8．π；9．201()2ftdt∫；10．e；三、简答题答案1.设)(xf是定义在区间],[ba上的一个函数，在闭区间],[ba上任取n-1个分bxxxxanii=−LL11把[a,b]分成n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用T表示,分割的细度用}max{||||ixT∆=表示，在分割T所属的各个小区间内各取一点],[1iiixx−∈ξ称为介点，作和式∑=∆niiixf1)(ξ以后简记为∑)(Tf此和式称为)(xf在],[ba上属于分割T的积分和（或黎曼和，设J是一个确定的数，若对任意0ε总存在某个0δ，使得],[ba上的任何分割T，只要它的细度δ||||T，属于分割T的所有积分和∑)(Tf都有ε−∑|)(|JTf则称)(xf在],[ba上可积，称J为函数)(xf在区间],[ba上的定积分(或黎曼积分)，记作∫bbbbaaaaf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx其中)(xf称为积分函数，x称为积分变量，],[ba称为积分区间，ba,分别称为积分的上限和下限。2.函数)(xf在闭区间],[ba可积0))()((lim0)(=−⇔→TsTSTl。3.若函数)(xf在闭区间],[ba连续，则)(xf在闭区间],[ba可积；若函数)(xf在闭区间],[ba有界，且有有限个间断点，则)(xf在闭区间],[ba可积；若函数)(xf在闭区间],[ba单调，则)(xf在闭区间],[ba可积。4.若)(xf在闭区间],[ba连续，则],[bac∈∃，有))(()(abcfdxxfba−=∫。5.若)(xf在],[ba连续，)(xF且为)(xf的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba−=∫6.若)(xf在闭区间],[ba可积，则],[bax∈∀，)(xf在],[xa可积，记∫=Φxadttfx)()(，则在],[ba定义了一个函数，称为)(xf在],[ba上的积分上限函数。四、计算题答案：1．1；2．12；3．2；4．24π；5．16；五、证明题1.证明：∫∫∫′−′=′=′′babababadxxfxfxxfxddxxfx)()()()(baxfafabfb)()()(−′−′=)]()([)]()([afafabfbfb−′−−′=。2.证明：由于0)(≥xf但0)(≡/xf,必存在点∈0x],[ba,使0)(0xf.)(xf在点0x连续,据保号性,0∃δ,使∈x),(00δδ+−xx(确切地说,应该是∈x),(00δδ+−xxI],[ba)时有2)()(0xfxf.于是∫∫∫∫∫+−−+−+≥≥++=baxxxaxxbxdxxfdxxf000000)()(δδδδδδ∫+−=⋅=δδδδ000000)(22)(2)(xxxfxfdxxf.3.证明：Newton-Leibniz公式:设函数)(xf在区间],[ba上连续,)(xF是)(xf在],[ba上的一个原函数,则∫−=baaFbFdxxf)()()(.证由)(xf在],[ba上连续,=Φ)(x∫xadttf)(也是)(xf在],[ba上的原函数.就有cxFx+=Φ)()(.由caFa+=Φ=)()(0,⇒)(aFc−=.于是得)()()(aFxFx−=Φ,即∫xadttf)()()(aFxF−=.取bx=,即得∫−=baaFbFdxxf)()()(.