高中数学数列知识点与例题

高中数学数列1数列基础知识点和方法归纳知识点：(一)数列的该概念和表示法、（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作na，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，……，na，……，简记作na。（2）通项公式的定义：如果数列}{na的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。说明：①na表示数列，na表示数列中的第n项，na=fn表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数()fn当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff……，()fn，……．通常用na来代替fn，其图象是一群孤立的点（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列na的第1项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。（6）数列通项na与前n项和nS的关系1．niinnaaaaaS13212．2111nSSnSannn高中数学数列2题型一应用)2()1(11nSSnSannn求数列通项【例1】已知数列na的前n项和23nnS，求其通项公式.解析：当123,1111San时，当)23()23(,211nnnnnSSan时132n又11a不适合上式，故)2(32)1(11nnann题型二、利用递推关系求数列的通项【例2】根据数列na的首项和递推关系，141,21211naaann求其通项公式解析：因为14121naann，所以)121121(2114121nnnaann所以)3111(2112aa)5131(2123aa43111()257aa…，…，1111()22321nnaann以上)1(n个式相加得)1211(211naan即：24342411nnnan【点拨】：在递推关系中若),(1nfaann求na用累加法，若),(1nfaann求na用累乘法，若qpaann1，求na用待定系数法或迭代法。课外练习1、设1212111nnnan，(Nn)，则nnaa与1的大小关系是(C)A．nnaa1B．nnaa1C．nnaa1D．不能确定高中数学数列3解：因为0221321113212211nnnnnaann所以nnaa1，选Ｃ．2．已知数列na的前n项和，142nnSn则)2(,52)1(,2nnnan3．已知数列na的通项9998nn（Nn），则数列na的前30项中最大项和最小项分别是910aa，解：构造函数99989919998xxxy由函数性质可知，函数在)99(，上递减，且1y；函数在），＋99(上递增且1y最小最大，），又910921301211101109(99aaaaaaaaa（二）数列1.等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前项和性质：是等差数列（1）若，则（2）数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，仍为等差1nnaadd11naandxAy，，2Axyn11122nnaannnSnadnamnpqmnpqaaaa；232nnnnnSSSSS，，……高中数学数列4数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.当，由可得达到最小值时的值.(6)项数为偶数n2的等差数列，有),)(()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanSndSS奇偶，1nnaaSS偶奇.（7）项数为奇数12n的等差数列，有)()12(12为中间项nnnaanS，naSS偶奇，1nnSS偶奇.1．等差数列na中，,1201210864aaaaa)(31119Caa的值为则A．14B．15C．16D．17解：)2(313199119daaaa1651203232)(3289ada2．等差数列na中，12910SSa，，则前项的和最大。解：0912129SSSS，0003011111121110aaaaaa，又，，∴na为递减等差数列∴1110SS为最大。adaad，，nnab，nnnST，2121mmmmaSbTna2nSanbnab，nnS2nSanbnna100ad，100nnaanSn100ad，100nnaanSnnana高中数学数列53．已知等差数列na的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为解：∵，，，，，1001102030102010SSSSSSS成等差数列，公差为D其首项为10010S，前10项的和为10100S2210291010100DD，DSSS1010100110又110221010100110）（S42)1(129850nnnny984022nn102)10(22n10210maxyn时，所以当4．设等差数列na的前n项和为nS，已知001213123SSa，，①求出公差d的范围，②指出1221SSS，，，中哪一个值最大，并说明理由。d)(nfannnanSna2n解：①)(6)(610312112aaaaS0)72(63da7240724dd)(2132)(1311313113aaaaS又0)82(2133da372430824ddd从而②0)(67612aaS013713aS最大。，66700Saa5.已知na数列是等差数列，1010a，其前10项的和7010S，则其公差d等于(D)32313132．．．．DCBA高中数学数列66.已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于（A）A．15B．30C．31D．64151212497aaaaa解：7.设nS为等差数列na的前n项和，971043014SSSS，则，=548.等差数列na的前n项和记为nS，已知50302010aa，①求通项na；②若nS=242，求n解：dnaan)1(1102212501930950301112010nadadadaaan解方程组，由2)1(1dnnnaSn，nS=242舍去）或解得(221124222)1(12nnnnn9．已知数列na中，，31a前n和1)1)(1(21nnanS①求证：数列na是等差数列②求数列na的通项公式③设数列11nnaa的前n项和为nT，是否存在实数M，使得MTn对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。解：①∵1)1)(1(21nnanS高中数学数列7nnnnnnnnnnnnnnnanannaanananannaananSSaanS)1()2()1(1)2()1(1)1()1)(1()1)(2(211)1)(2(2111212111111整理得，nnnnnnaaaaanan21212))(1()1(2∴数列na为等差数列。②1)1(311nnannaa，122)1(3)1(2251211212nndnaaaaaaann的公差为即等差数列③)32)(12(111nnaann61)32131(21)32112171515131(2132112121nnTNnnnnTnn时，又当要使得MTn对一切正整数n恒成立，只要M≥61，所以存在实数M使得MTn对一切正整数n都成立，M的最小值为61。高中数学数列82.等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.等比中项：成等比数列，或.前项和：（要注意！）性质：是等比数列（1）若，则（2）仍为等比数列,公比为nq.注意：由求时应注意什么？时，；时，.例：⑴在等比数列na中，143613233nnaaaaaa，，①求na，②若nnnTaaaT求,lglglg21⑵在等比数列na中，若015a，则有等式nnaaaaaa292121)29(Nnn，成立，类比上述性质，相应的在等比数列nb中，若119b则有等式成立。解：⑴①由等比数列的性质可知：nnnaqqaaaaaaaaaaaa6151661616143612)21(32213213211323332所以，，即所以，解得，又②由等比数列的性质可知，nalg是等差数列，因为1nnaqaq0q11nnaaqxGy、、2GxyGxyn11(1)1(1)1nnnaqSaqqqnamnpqmnpqaaaa··232nnnnnSSSSS，，……nSna1n11aS2n1nnnaSS高中数学数列92lg2)11(2)lg(lg2lg5lg2lg)6(2lglg116nnnaaTanannnn所以，⑵由题设可知，如果0ma在等差数列中有nmnaaaaaa122121)12(Nnmn，成立，我们知道，如果qpnmaaaaqpnm，则若，而对于等比数列nb，则有qpnmaaaaqpnm，则若所以可以得出结论，若nmnmbbbbbbb1221211，则有)12(Nnmn，成立，在本题中nnbbbbbb372121则有)37(Nnn，3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法例1：数列，，求解：时，，∴①时，②①—②得：，∴，∴［练习］数列满足，求解：注意到，代入得；又，∴是等比数列，时，（2）叠乘法例2：数列中，，求na12211125222nnaaan……na1n112152a114a2n12121111215222nnaaan……122nna12nna114(1)2(2)nnnanna111543nnnSSaa，na11nnnaSS14nnSS14SnS4n