第二章随机变量及其分布章末复习

1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．3．了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．4．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．5．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1．以应用题为背景命题，考查离散型随机变量的分布列、均值及某范围内的概率．相互独立事件同时发生的概率，某事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算，二项分布和离散型随机变量的均值与方差是高考的重点，考查的题型以解答题为主，有时也出现选择、填空题．2．高考中考查热点仍是离散型随机变量的分布列及均值，同时结合相互独立事件同时发生的概率和二项分布，其难度为中档．12n12()()()()1(),()()(),()()1,()()()()()(|)(),()=()(|)()(0),,(()PAUBPAPBPABPABABPAUBPAPBABPAPBABPABPAPBnABPABPBAPABPAPBAnAPAAAAPAPAAA,B互斥反之，成立；对立相互独立（用来判定相互独立）变形：两两互斥，则不一定n12n12n123n12n)()()(),,()()()()APAPAPAAAAPAAAAPAPAPA＝相互独立，则＝在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”，则该课程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响．(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(2)求这三人该课程考核都合格的概率．(结果保留三位小数)．解析：记“甲理论考核合格”为事件A1，记为A1的对立事件；记“乙理论考核合格”为事件A2，记为A2的对立事件；记“丙理论考核合格”为事件A3，记为A3的对立事件；记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记为C的对立事件．方法一：P(C)＝P((A1A2A3)∪(A1A2A3)∪(A1A2A3)∪(A1A2A3))＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.7＝0.902.方法二：P(C)＝1－P(C)＝1－P((A1A2A3)∪(A1A2A3)∪(A1A1A3)∪(A1A2A3))＝1－[P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)P(A1A2A3]＝1－(0.1×0.2×0.3＋0.9×0.2×0.3＋0.1×0.8×0.3＋0．1×0.2×0.7)＝1－0.098＝0.902.所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902.(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D.P(D)＝P[(A1B1)(A2B2)(A3B3)]＝P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3)＝P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9＝0.254016≈0.254.所以这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.1．求离散型随机变量的分布列有三个步骤：(1)明确随机变量X取哪些值；(2)计算随机变量X取每一个值时的概率；(3)将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识．2．求离散型随机变量的分布列，要解决好两个问题：(1)根据题意，明确随机变量X取值，切莫疏忽大意多解或漏解；(2)一般来说，求相应的概率时有时数字会很大，同学们要有信心，不要半途而废．某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)，设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率；(2)获赔金额ξ的分布列．解析：设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝19，P(A2)＝110，P(A3)＝111.(1)该单位一年内获赔的概率为1－P(A1A2A3)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－89×910×1011＝311.(2)ξ的所有可能值为0,9000,18000,27000.P(ξ＝0)＝89×910×1011＝811，P(ξ＝9000)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝19×910×1011＋89×110×1011＋89×910×111＝242990＝1145，P(ξ＝18000)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝19×110×1011＋19×910×111＋89×110×111＝27990＝3110，P(ξ＝27000)＝P(A1A2A3)＝＝19×110×111＝1990.综上可知，ξ的分布列为ξ090001800027000P811114531101990求离散型随机变量的期望、方差，首先要明确概率分布，最好确定随机变量概率分布的模型，这样就可以直接运用公式进行计算．不难发现，正确求出离散型随机变量的分布列是解题的关键．在求离散型随机变量的分布列之前，要弄清楚随机变量可能取的每一个值，以及取每一个值所表示的意义．离散型随机变量的期望与方差试题，主要考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集、处理信息的能力．主要题型：(1)离散型随机变量分布列的判断；(2)求离散型随机变量的分布列、期望与方差；(3)根据离散型随机变量的分布列、期望与方差的性质求参数．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响．设ξ表示客人离开该城市时浏览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．(1)求ξ的分布列及数学期望；(2)记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率．解析：(1)分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点”为事件A1、A2、A3.由已知A1、A2、A3相互独立，P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6.客人游览的景点数的可能取值为0、1、2、3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3、2、1、0，所以ξ的可能取值为1、3.P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24，P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.所以ξ的分布列为ξ13P0.760.24Eξ＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.(2)方法一：因为f(x)＝x－32ξ2＋1－94ξ2，所以函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间32ξ，＋∞上单调递增．要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，当且仅当32ξ≤2，即ξ≤43.从而P(A)＝Pξ≤43＝P(ξ＝1)＝0.76.方法二：ξ的可能取值为1、3.当ξ＝1时，函数f(x)＝x2－3x＋1在区间[2，＋∞)上单调递增．当ξ＝3时，函数f(x)＝x2－9x＋1在区间[2，＋∞)上不单调递增．所以P(A)＝P(ξ＝1)＝0.76.对于正态分布问题，在新课程标准中的要求不是很高，只要求同学们了解正态分布中的最基础的知识．但由于正态分布中体现了数形结合的重要思想，一些结合图象解决某一区间内的概率问题又成为热点问题，这就需要同学们熟练掌握正态分布的形式，记住正态总体在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aX≤b)=,则称X的分布为正态分布,记作__________.(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ-σX≤μ+σ)=_________;②P(μ-2σX≤μ+2σ)=________;③P(μ-3σX≤μ+3σ)=_________.（3）一般正态分布转化为标准正态分布xxbad)(,N(μ,σ2)0.68260.95440.997422()21()e,(,)2πxxx，(,),,(0,1(()))()NNFPxxx令则(1,4)(0.5)0.6915,(1),(0).NPP已知随机变量，则1．已知P(B|A)＝12，P(A)＝35，P(AB)＝()A.56B.910C.310D.110解析：P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝12×35＝310.答案：C2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是()A.16625B.96625C.192625D.256625解析：由题意得P4(2)＝C424521－452＝96625，选B.答案：B3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X＞4)＝()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585答案：B解析：P(X＞4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587.4．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于C74·C86C1510的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)答案：C解析：A中P(X＝2)＝C72·C88C1510；B中P(X≤2)＝P(X＝2)＝C72·C88C1510；C中P(X＝4)＝C74·C86C1510；D中P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝C72·C88＋C73·C87＋C74C86C1510.5．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．解析：记：“甲、乙、丙参加此项测试能达标”为事件A、B、C，则事件A、B、C是相互独立事件，P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.6×0.5＝0.24答案：0.240.96三人中至少有一人达标的对立事件是三人都不达标∴P＝1－P(ABC)＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝1－0.2×0.4×0.5＝0.966．已知ξ是随机变量，若η＝2ξ＋3，且E(η)＝11，则E(ξ)＝________；若P(ξ＝±1)＝12，则D2ξ＋5＝________.解析：由η＝2ξ＋3知，E(η)＝E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝11，故E(ξ)＝4.∵P(ξ＝±1)＝12，∴E(ξ)＝－1×12＋1×12＝0，答案：42∴D(ξ)＝(－1－0)2×12＋(1－0)2×12＝1，D(2ξ＋5)＝22D(ξ)＝4，∴D2ξ＋5＝2.7．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层可以停靠．若该电梯在底层