相似三角形与三角函数综合应用

-学习改变命运-157教学内容智康笔记【知识框架】【精选例题】（一）相似三角形的判定与性质的应用【例1】设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC①证明：PC＝2AQ②当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明。PQFEDCBA相似三角形与三角函数综合应用相似三角形判定和性质的应用相似三角形与函数结合相似三角形与圆等图形结合相似三角形与动点结合相似三角形的应用-学习改变命运-158【例2】图①图②（1）已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45°.求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE的值．【例3】如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN＋PQ＝2PN．BACMNPEFQDG图-学习改变命运-159（二）相似与函数结合：求点的坐标、线段的长度【例4】已知：反比例函数xy2和xy8在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在xy8的图象上，AB∥y轴，与xy2的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与xy2、xy8的图象交于点C、D.（1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；（2）若点A的横坐标为m，比较△OBC与△ABC的面积的大小，并说明理由；（3）若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标.【例5】如图，已知抛物线y＝43x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝t43x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．（1）填空：点C的坐标是，b＝，c＝；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．ABxyOQHPC-学习改变命运-160【例6】如图，抛物线经过(40)(10)(02)ABC，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大，求出点D的坐标．（三）相似与动点结合：要注意分类讨论【例7】（2009年中山）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：RtRtABMMCN△∽△；（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当Ｍ点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时RtRtABMAMN△∽△，求x的值．-学习改变命运-161【例8】（2009年山西省）如图，已知直线3832:1xyl与直线162:2xyl相交于点Ｃ，21,ll分别交x轴于AB、两点．矩形DEFG的顶点DE、分别在直线12ll、上，顶点FG、都在x轴上，且点Ｇ与点Ｂ重合．（1）求△ABC的面积；（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．ADBEOCFxyy1ly2l（G）-学习改变命运-162【例9】如图，ABCD在平面直角坐标系中，6AD，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程27120xx的两个根，且OAOB．（1）求sinABC的值．（2）若E为x轴上的点，且163AOES△，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断AOE△与DAO△是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【课堂练习】1.(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。（1）当x=0时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；xyADBOC-学习改变命运-163（2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；（3）令2yEF，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由2.（2009恩施市）如图，在ABC△中，9010ABCABC°，，△的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DEBC∥，交AC于点E．设DEx，以DE为折线将ADE△翻折（使ADE△落在四边形DBCE所在的平面内），所得的ADE△与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．（1）用x表示ADE△的面积；（2）求出05x≤时y与x的函数关系式；-学习改变命运-164（3）求出510x时y与x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？3.如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．EADBCABCA-学习改变命运-165【课后作业】1.（2009泰安）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。（1）求证：FD2=FB●FC。（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。2.(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于NMBECDFG图（1）-学习改变命运-166点A、点B，与反比例函数xmy在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，x)．过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上X轴于F．(1)求m，n的值；(2)求直线AB的函数解析式；(3)求证：△AEC∽△DFB．3.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点（点M与点AB、不重合），过点M作MNBC∥，交AC于点N，在AMN△中，设MN的长为x，MN上的高为h．（1）请你用含x的代数式表示h．（2）将AMN△沿MN折叠，使AMN△落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为1A，1AMN△与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？-学习改变命运-1674.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．数独游戏4362457349324125683412958736156