概率统计3-全概率公式-教学设计

《概率统计II》教学设计全概率公式1全概率公式教学设计【教学题目】§1.3全概率公式与贝叶斯公式【教学目的】根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：理解并熟练掌握全概率公式及其应用。【教学思想】1、全概率公式1()(|)()niiiPBPABPA，是加法原理与乘法公式的综合运用，蕴含了“化整为零、积零成整”、化复杂为简单的辩证法教学思想，将受多个因素影响的复杂事件概率分解成若干个简单事件概率之和。2、全概率公式的“全”的含义是指对目标事件A有概率贡献的全部原因，需要将所有的可能性都考虑进来。3、事件A的概率是该事件受到多个因素影响后的综合表现，因此，全概率公式中的()PA本质上是一种平均概率，是对条件概率(|)iPAB的加权平均,其权重就是作为条件的事件iB发生的概率。4、“以教师为主导、以学生为主体”引导学生主动学习、思考，并通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生使用全概率公式来解决实际问题的目的，体现“授人以渔”。【教学分析】1、本次课主要包括以下内容：（1）回顾条件概率公式和乘法原理，分析引例；（2）全概率公式及证明；（3）全概率公式的应用。2、重难点分析：全概率公式主要用于计算受多个事件影响的复杂事件的概率，其原理是利用这些影响事件所对应的划分，将所求事件分解后再利用乘法原理计算各影响事件的概率“贡献”之和。全概率公式的应用蕴含了利用“化整为零、积零成整”、将复杂问题简化的思想，故为本次课的重点。全概率公式的难点在于其应用。对某具体问题，学生一般不知道或不容易分析出该问题可以利用全概率公式来进行求解。需要通过实例分析，使学生认识到：对于多个事件均对所求事件概率有概率贡献的问题，可以采用全概率公式来解决。【教学方法和策略】黑板板书结合PPT演示，采用启发式、提问式教学，引入一个学生熟悉的摸球试验，先从特殊到一般，由表及里、层层递进、步步设问，再从一般到特殊，利用实例引导学生主《概率统计II》教学设计全概率公式2动思考，达到理解并掌握知识点的目的。【教学安排】引入（4分钟）：引例：袋中有2个红球与三个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回，连续取两次。记A=“第二次取得红球”，求第二次取得红球的概率P(A)。利用只有两个影响因素的简单例题（摸球问题）推导出全概率公式的简单表达式，在PPT上显示分析过程：分析：221121212()AAAAAAAAA21212121121()()()()(|)()(|)21322=+=54545PAPAAPAAPAPAAPAPAA通过提问启发学生从该结果中总结规律：2121121()()(|)()(|)PAPAPAAPAPAA强调：表达式21121(|)()(|)PAAPAPAA虽然形式上比较复杂，但更能体现摸球实验的先后次序，实际算起来却很简单。进而，通过提问引导学生对其推广到一般情况的思考（由特殊到一般）：1、对A的概率有影响的事件为n个（B1、B2、…、Bn）时，是否有类似的表达式？2、需要满足什么条件？利用对1、2问题的回答，引出划分和全概率公式。对引例的分析要抓住这类问题的共同特点：多个事件对所求事件概率都有概率“贡献”，并类推得出全概率公式。教学内容（13分钟）：1、回顾划分（完备事件组）的概念，指出这是全概率公式成立的条件之一。关于划分，由2个事件相互对立，推广到n个事件时，要注意通过两者之间的共性，实现教学内容之间的衔接：（1）,,1,2,...,ijBBijnij；（2）1niiB2、黑板板书全概率公式的定理及其证明。首先在黑板上写出该定理。定理（全概率公式）：设事件B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分，且Ｐ(Bi)0,(i=1,2,…，n),则对任意事件AΩ，有《概率统计II》教学设计全概率公式31()()(|)niiiPAPBPAB与引例的分析做类比，引例中的表达式即为全概率公式在n=2时的特例，引导学生思考能否根据引例的分析过程类推得出全概率公式的证明。给出全概率公式的证明过程（板书书写）。证明：由BiBj=ф（i≠j），Ω=B1+B2+…+Bn，得A=AΩ=AB1+AB2+…+ABn1121122()(|)  ()()()|||ninnniiPBPABPAPABPABPABPBPABPBPABPBPAB故（）（）（）（）（）（）（）证明完毕后，结合PPT演示，说明全概率公式的数学思想：全概率公式是对加法原理和乘法公式的综合运用，蕴含了“化整为零、积零成整”、化复杂为简单的数学思想，将受多个因素影响的复杂事件概率分解成不同影响因素对应的简单事件概率之和。3、通过对具体例子（产品抽样检查问题）说明全概率公式的应用方法（一般到特殊）。例1（产品抽样检查）设仓库中共有10箱产品，其中甲、乙、丙三厂各有5、3、2箱，且已知甲、乙、丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现从中任取1箱，再从该箱中任取1件产品，求取得次品的概率。主要包括：（1）问题分析：这类问题的特点，分析为什么可以用全概率公式求解。所取得的产品可能由甲、乙、丙中任何一个厂生产，但是不同厂家的次品率不同，因此，该产品为次品的概率受到甲、乙、丙三厂的综合影响，每个工厂都有概率“贡献”，因此应考虑运用n=3的全概率公式。（2）求解步骤：事件的描述，公式中各概率的计算。在黑板上写下求解过程：解：设A=“任取一件为次品”，B1、B2、B3表示所取得的产品分别由甲、乙、丙三厂生产，31()()(|)iiiPAPBPAB=0.5×0.1＋0.3×0.15＋0.2×0.20=0.135注意：在求解过程中，要引导学生思考全概率公式中各项概率（特别是条件概率）该怎么计算，加深对全概率公式应用的认识。（3）问题总结：应用全概率公式的关键在于对所求事件A有概率贡献的全部原因要分析清楚，将所有的可能性都考虑进来，公式中的条件概率是根据实际情况直接得到的，不是利用条件概率公式计算的。《概率统计II》教学设计全概率公式4思考与讨论（2分钟）：1、引导学生观察全概率公式中的条件1niiB，提问“是不是一定要满足1niiB”引发学生思考：全概率公式中的条件1niiB是否可以削弱为1niiB，1niiAB？回答是肯定的。要求学生参考全概率公式的证明过程，自行完成在该条件下定理结论的证明。2、通过提问：在产品抽样检查例题中，若取得的产品为次品，问该产品是最可能由哪个厂生产？引导学生主动思考并分析出这类问题的特点：已知结果，推断原因。为下一步学习后验概率和Bayes公式做铺垫。内容小结(1分钟)：总结本节课的学习的知识要点：1、全概率公式体现了一种复杂问题简单化的“化整为零、积零成整”的思想，运用全概率公式的关键在于：找到对目标事件有概率贡献的完备事件组。2、全概率公式所谓“全”是指：考察对所求事件A有概率贡献的全部原因，将所有的可能性都考虑进来。3、事件A的概率是其受到多个因素影响后的综合表现，P(A)本质上是对A在不同条件下发生的条件概率P(A|Bi)的加权平均，权重为P(Bi)。课后延伸：思考与讨论1中结论的证明，由学生自行完成。课后作业：练习册1-3第4、5题。