解三角形专题(高考题)练习【附答案】

1、在b、c，向量2sin,3mB，2cos2,2cos12BnB，且//mn。（I）求锐角B的大小；（II）如果2b，求ABC的面积ABCS的最大值。(1)解：m∥n2sinB(2cos2B2－1)＝－3cos2B2sinBcosB＝－3cos2Btan2B＝－3……4分∵0＜2B＜π,∴2B＝2π3,∴锐角B＝π3……2分(2)由tan2B＝－3B＝π3或5π6①当B＝π3时，已知b＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立)……3分∵△ABC的面积S△ABC＝12acsinB＝34ac≤3∴△ABC的面积最大值为3……1分②当B＝5π6时，已知b＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2＋3ac≥2ac＋3ac＝(2＋3)ac(当且仅当a＝c＝6－2时等号成立)∴ac≤4(2－3)……1分∵△ABC的面积S△ABC＝12acsinB＝14ac≤2－3∴△ABC的面积最大值为2－3……1分5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.coscos3cosBcBaCb（I）求cosB的值；（II）若2BCBA，且22b，求ca和b的值.解：（I）由正弦定理得CRcBRbARasin2,sin2,sin2，,0sin.cossin3sin,cossin3)sin(,cossin3cossincossin,cossincossin3cossin,cossin2cossin6cossin2ABAABACBBABCCBBCBACBBCRBARCBR又可得即可得故则因此.31cosB…………6分（II）解：由2cos,2BaBCBA可得，,,0)(,12,cos2,6,31cos222222cacacaBaccabacB即所以可得由故又所以a＝c＝66、在ABC中，5cos5A，10cos10B.（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）设2AB，求ABC的面积.（Ⅰ）解：由5cos5A，10cos10B，得02AB、，，所以23sinsin.510AB，……3分因为2coscos[()]cos()coscossinsin2CABABABAB…6分且0C故.4C…………7分（Ⅱ）解：根据正弦定理得sin6sinsinsin10ABACABBACCBC，…………..10分所以ABC的面积为16sin.25ABACA7、在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量(1,2sin)mA，(sin,1cos),//,3.nAAmnbca满足（I）求A的大小；（II）求)sin(6B的值.解：（1）由m//n得0cos1sin22AA……2分即01coscos22AA1cos21cosAA或………………4分1cos,AABCA的内角是舍去3A………………6分（2）acb3由正弦定理，23sin3sinsinACB………………8分32CB23)32sin(sinBB………………10分23)6sin(23sin23cos23BBB即8、△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且有sin2C+3cos（A+B）=0，.当13,4ca，求△ABC的面积。解：由CBABAC且0)cos(32sin有23sin0cos,0cos3cossin2CCCCC或所以……6分由3,23sin,,13,4CCacca则所以只能有，……8分由余弦定理31,034cos22222bbbbCabbac或解得有当.3sin21,133sin21,3CabSbCabSb时当时9、在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知11tan,tan23AB，且最长边的边长为l.求：（I）角C的大小；（II）△ABC最短边的长.9、解：（I）tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）11tantan231111tantan123ABAB∵0C，∴34C……………………5分（II）∵0tanBtanA，∴A、B均为锐角,则BA，又C为钝角，∴最短边为b，最长边长为c……………………7分由1tan3B，解得10sin10B……………………9分由sinsinbcBC，∴101sin510sin522cBbC………………12分10、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c=7，且.272cos2sin42CBA(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.10、解：(1)∵A+B+C=180°由272cos2cos4272cos2sin422CCCBA得…………1分∴27)1cos2(2cos142CC………………3分整理，得01cos4cos42CC…………4分解得：21cosC……5分∵1800C∴C=60°………………6分（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab…………7分∴abba3)(72………………8分由条件a+b=5得7=25－3ab……9分ab=6……10分∴23323621sin21CabSABC…………12分12、在ABC中，角ABC、、的对边分别为abc、、，(2,)bcam，(cos,cos)ACn，且mn。⑴求角A的大小；⑵当22sinsin(2)6yBB取最大值时，求角B的大小、解：⑴由mn，得0mn，从而(2)coscos0bcAaC由正弦定理得2sincossincossincos0BACAAC2sincossin()0,2sincossin0BAACBAB,(0,)AB，1sin0,cos2BA，3A（6分）⑵22sinsin(2)(1cos2)sin2coscos2sin666yBBBBB311sin2cos21sin(2)226BBB由(1)得，270,2,366662BB时，即3B时，y取最大值213、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若).(RkkBCBAACAB（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若kc求,2的值.解：（I）BcaBCBAAcbACABcos,cos…………1分BacAbcBCBAACABcoscos又BAABcossincossin…………3分即0cossincossinABBA0)sin(BA…………5分BABAABC为等腰三角形.…………7分（II）由（I）知ba22cos2222cbcacbbcAbcACAB…………10分2c1k…………12分14、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且coscosBCbac2.（I）求角B的大小；（II）若bac134，，求△ABC的面积.解：（I）解法一：由正弦定理aAbBcCRsinsinsin2得aRAbRBcRC222sinsinsin，，将上式代入已知coscoscoscossinsinsinBCbacBCBAC22得即20sincossincoscossinABCBCB即20sincossin()ABBC∵ABCBCAABA，∴，∴sin()sinsincossin20∵sincosAB≠，∴，012∵B为三角形的内角，∴B23.解法二：由余弦定理得coscosBacbacCabcab22222222，将上式代入coscosBCbacacbacababcbac2222222222得×整理得acbac222∴cosBacbacacac2222212∵B为三角形内角，∴B23（II）将bacB13423，，代入余弦定理bacacB2222cos得bacacacB2222()cos，∴131621123acac()，∴∴SacBABC△12343sin.17、【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且4,cos35BA，∴23,sin35CAA，∴231343sinsincossin32210CAAA.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3343sin,sin510AC，又∵,33Bb，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴sin6sin5bAaB.∴△ABC的面积1163433693sin32251050SabC.18、解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=23(负值舍掉)，从而求出B=3。解：由cos（AC）+cosB=32及B=π（A+C）得cos（AC）cos（A+C）=32，cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=32,sinAsinC=34.又由2b=ac及正弦定理得21世纪教育网2sinsinsin,BAC故23sin4B，3sin2B或3sin2B（舍去），于是B=3π或B=23π.又由2bac知ab或cb所以B=3π。19、本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分解：（Ⅰ）由2CA，且CAB，∴42BA，∴2sinsin()(cossin)42222BBBA，∴211sin(1sin)23AB，又sin0A，∴3sin3A（Ⅱ）如图，由正弦定理得sinsinACBCBA∴36sin3321sin3ACABCB，又sinsin()sincoscossinCABABAB32261633333∴116sin63232223ABCSACBCC20、解：（1）由(13)2cb得13sin22sinbBcC则有55sin()sincoscossin666sinsinCCCCC=1313cot2222C得cot1C即4C.（2）由13CBCA推出cos13abC；而4C,即得2132ab,则有2132(13)2sinsinabcbacAC解得2132abcABC21、解：(1)因为sinsintancoscosABCAB，即sinsinsincoscoscosCABCAB，所以sincossincoscossincossinCACBCACB，即sincoscossincossinsincosCACACBCB，得sin()sin()CABC.所以CABC,或()CABC(不成立).即2CAB,得3C，所以.23BA又因为1sin()cos2BAC，则6BA，或56BA（舍去）得5,412AB(2)162sin3328ABCSacBac，又sinsinacAC,即2322ac，21世纪教育网得22,23.ac22、【解析】（1）解：在ABC中，根据正弦定理，ABCCABsinsin，于是522sinsinBCABCCA