直线平面平行的判定及其性质

菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练第四节直线、平面平行的判定及其性质菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考纲要求：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[基础真题体验]考查角度[平行关系]1．(2013·广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误．故选B.【答案】B菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练2．(2011·福建高考)如图7­4­1，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图7­4­1菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC的中点．故EF＝12AC＝2.【答案】2菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[命题规律预测]规命题律从近几年的高考试题来看，对本节内容的考查主要体现在以下两点：(1)以选择、填空题的形式考查线面位置关系的判定；以解答题的形式考查线面平行的证明．(2)考查线面与面面的位置关系的相互转化及空间想象能力．考向预测预测2016年高考中线面位置关系的判定和证明仍是命题的热点，重点考查空间想象能力和逻辑推理能力.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向一直线与平面平行的判定与性质[典例剖析]【例1】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练解法一如图所示．作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练∴AE＝BD.又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴PMAB＝PEAE＝QBBD＝QNDC，∴PMAB＝QNDC，∴PM与QN平行且相等，即四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练法二如图所示，连接AQ并延长交BC的延长线于K，连接EK.∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴APPE＝DQBQ，又AD∥BK，∴DQBQ＝AQQK，∴APPE＝AQQK，∴PQ∥EK.又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法：(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；(2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[对点练习]如图7­4­2所示，在四面体A­BCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.图7­4­2菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【证明】如图，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.∵F，H分别是AB，AC的中点，∴K是△ABC的重心，∴BKBH＝23.又据题设条件知，BEBG＝23，∴BKBH＝BEBG，∴EK∥HG.∵EK⊂平面CEF，HG⊄平面CEF，∴直线HG∥平面CEF.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向二平面与平面平行的判定与性质[典例剖析]【例2】(2014·吉林模拟)如图7­4­3所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.图7­4­3菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【思路点拨】(1)证明GH∥BC便可．(2)证明A1E∥平面BCHG，EF∥平面BCHG便可．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【证明】(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[对点练习]如图7­4­4所示，三棱柱ABC­A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．图7­4­4求证：平面A1BD1∥平面AC1D.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【证明】如图所示，连接A1C交AC1于点E，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以E是A1C的中点，连接ED，因为A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED.因为E是A1C的中点，所以D是BC的中点．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练又因为D1是B1C1的中点，所以BD1∥C1D，A1D1∥AD.又A1D1∩BD1＝D1，C1D∩AD＝D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向三线面、面面平行的综合应用[典例剖析]【例3】(2014·山东名校联考)如图7­4­5，在三棱锥P­ABC中，O为AC的中点，PO⊥平面ABC，且AB⊥BC，AB＝BC＝42，PA＝PC＝5，E，F分别为PA，PB的中点．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练图7­4­5(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；(2)求三棱锥F­EBO的体积．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【思路点拨】(1)取BC的中点H，证明平面FGH∥平面BOE，进而证明FG∥平面BOE；(2)VF­EBOFG∥平面BOEVG­EBO等体积VE­BGO.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】(1)取BC的中点H，连接GH，FH，则GH，FH，OE分别为△OBC，△BPC，△APC的中位线，则GH∥OB，FH∥PC，OE∥PC，所以OE∥FH，因为FH∩GH＝H，OE∩OB＝O，且GH，FH⊂平面FHG，OB，OE⊂平面BOE，所以平面FGH∥平面BOE，又FG⊂平面FGH，所以FG∥平面BOE.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)因为AB⊥BC，AB＝BC＝42，所以AC＝8，在△PAC中，PO2＝PC2－OC2＝25－16＝9，所以PO＝3.因为FG∥平面BOE，所以VF­BEO＝VG­BEO，又VG­BEO＝VE­BGO，设点E到平面BOG的距离为h，因为E为PA的中点，所以h＝12PO＝32，则VE­BGO＝13·h·12·BO·OG＝13×32×12×4×2＝2，所以VF­EBO＝2.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练1．线面平行和面面平行的性质都体现了转化思想．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练2．对较复杂的综合问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理来进行证明，有如下方法：菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[对点练习](2013·陕西高考)如图7­4­6，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.图7­4­6(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD­A1B1D1的体积．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD­A1B1D1的高．又AO＝12AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1.又S△ABD＝12×2×2＝1，∴V三棱柱ABD­A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练满分指导11立体几何中探索性问题的求解策略[典例剖析]【典例】(12分)(2014·海口模拟)如图7­4­7，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E在线段B1C1上，B1E＝3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切