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试卷(B)试卷份数考试本科考试科目常微分方程题号一二三四五六七总分分数阅卷人第1页(共5页)试卷说明:1、该门考试课程的考试方式:闭卷;2、考试所用时间:120分钟。3、使用班级数计学院数11级一、填空题(每小题3分,本题共15分)1.方程21ddyxy的常数解是。2.方程04yy的基本解组是。3.方程yxxysindd2满足解的存在唯一性定理条件的区域是。4.线性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21xxxnYYY为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式0)(xW。5.方程)sin(ddyxyxy的任一非零解与x轴相交。二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)6.方程323ddyxy过点(0,0)有().(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解7.方程1ddyxy()奇解.(A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个8.),(yxfy有界是方程),(ddyxfxy初值解唯一的()条件.(A)必要(B)必要非充分(C)充分(D)充分必要……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………数计学院系级班姓名__学号_任课教师审题人年月日……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………第2页(共5页)9、微分方程yyxxln的通解()A、21lncxxcyB、1ln1xxcyC、xxylnD、211lncxxcy10.n阶线性非齐次微分方程的所有解().(A)构成一个线性空间(B)构成一个1n维线性空间(C)构成一个1n维线性空间(D)不能构成一个线性空间三、简答题(每小题6分,本题共30分)11.解方程yxxyedd12.解方程xyxyxytandd年月日13.解方程5ddxyyxy14.解方程0)d(d222yyxxxy15.试讨论方程组cydtdybyaxdtdx,的奇点类型,其中a,b,c为常数,且ac0。……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………第3页(共5页)年月日……………………………………………密…………………………封…………………………线………………………………………………………………………第4页(共5页)四、计算题(每小题10分,本题共20分)16.求方程255xyy的通解17.解方程组:xyyyxx23,年月日五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分,本题共20分)18.设)(1xy和)(2xy是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解,求证:它们不能有共同的零点.19.已知微分方程0)()(2dyxfdxyx有积分因子x,试求所有可能的函数)(xf.……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………12-13-2学期期末考试《常微分方程》B参考答案及评分标准(数计学院)制卷审核一、填空题(每小题3分,本题共15分)1.1y2.xx2cos,2sin3.xoy平面4.充分必要5.不能二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)6.A7.C8.C9.D10.D三、简答题(每小题6分,本题共30分)11.解分离变量得xyxydede(3分)等式两端积分得通积分Cxyee(6分)12.解令uxy,则xuxuxydddd,代入原方程,得uuxuxutandd,uxuxtandd(2分)当0tanu时,分离变量,再积分,得Cxxuulndtand(4分)Cxulnlnsinln(5分)即通积分为:Cxxysin(6分)13.解方程两端同乘以5y,得xyxyy45dd(2分)令zy4,则xzxyydddd45,代入上式,得xzxzdd41(3分)通解为41e4xCzx原方程通解为41e44xCyx(6分)14.解:因为xNxyM2,所以原方程是全微分方程(2分)取)0,0(),(00yx,原方程的通积分为Cyyxxyyx020dd2(4分)即Cyyx3231(6分)15.解:因为方程组是二阶线性驻定方程组,且满足条件00accba,故奇点为原点(0,0)2分又由det(A-E)=0)(02accacba得ca214分所以,方程组的奇点(0,0)可分为以下类型:a,c为实数不稳定结点,稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点(不稳定)不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00cacabbcaaccacaacca6分四、计算题(每小题10分,本题共20分)16.解:对应齐次方程的特征方程为052(1分)特征根为:特征根为01,52,(2分)齐次方程的通解为xCCy521e(4分)因为0是特征根。所以,设非齐次方程的特解为)()(21CBxAxxxy(6分)代入原方程,比较系数确定出31A,51B,252C原方程的通解为xxxCCyx2525131e23521(10分)17.解:其系数矩阵为:3211A,(2分)特征多项式为:543211)det(2EA,其特征根为:,221i,,(4分)当i2时,由方程组01211baii,可解得特征向量为:iT11(6分)由tttiettteietttisincossinsincoscos1122)2(,(8分)可知方程组的基本解组为:tttetttettsincossinsincoscos22,.(10分)五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分,本题共20分)18.证明由于)(1xy和)(2xy是两个线性无关解,则它们的朗斯基行列式0)()()()()(2121xxxxxW(*)(5分)假如它们有共同零点,那么存在一个点0x,使得)(01x=0)(02x于是0)()(00)()()()()(0201020102010xxxxxxxW这与(*)式矛盾.(10)19.解:令yxyxM2),(,)(),(xfyxN,由所给方程有积分因子x知,)()(xxNyxM(4分)即)()(xfxfxx,因此函数)(xf满足一阶线性方程,1)()(xxfxf(6分)求出其通解即得使所给方程有积分因子x的函数)(xf为,2)(xxCxf其中C为任意常数.(10分)
本文标题:数学系常微分方程期末试卷B及答案
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