线性代数作业集1103

第1章测试题一.问答题1:用对角线法则计算下列3阶行列式:答案(1)D=-3+24+2-9-4-(-4)=14(2)2:求下列各排列的逆序数，并说明哪些是偶排列.(1)13254;(2)7645231;(3);(4)答案(1),偶排列.(2),奇排列.(3)(4)排列的奇偶性与n的奇偶性相同.3:确定i,j使为6阶行列式中的一项.答案为使为6阶行列式中的一项,应选择i和j,使列标构成的6阶排列为奇排列.于是应取i=5，j=2,此时排列351246的逆序数为4:计算下列行列式：答案(1)(2)(3)于是(4)5:计算下列n阶行列式:答案(1)(2)(3)(4)于是故6:利用范德蒙行列式计算下列各题：答案(1)构造5阶范德蒙行列式并利用相应的计算公式得又注意到的系数,又由式可直接得到的系数，故(2)7:证明:答案(1)(2)(3)8:用克莱姆法则解下列线性方程组:答案(1)(2)9:已知齐次线性方程组有非零解，问取何值？答案系数行列式故当=-2或=3时,D=0，齐次线性方程组有非零解.第2章测试题一.问答题1:计算下列乘积:答案(1)(2)原式=0(3)(4)(5)(6)2:答案3:已知两个线性变换求从Z1,Z2,Z3到X1,X2,X3的线性变换.答案将线性变换写成矩阵形式,其中则有而故得4:下列命题是否成立?若成立给出证明;若不成立举反例说明:(1)若A2=0,则A=0;(2)若A2=A,则A=0或A=E;(3)若AX=AY,且A≠O则X=Y.答案(1)不一定成立.如取(2)不一定成立.如取(3)不一定成立.如取5:答案方法1：可求得设则当时，有故方法2：其中注意到,则有注当A=B+C,且BC=CB时，才可利用求矩阵方幂的二项展开公式。6:设A是反对称矩阵,B是对称矩阵,证明:(1)A2是对称矩阵;(2)AB-BA是对称矩阵；(3)AB是反对称矩阵的充要条件是AB=BA.答案(1)即A2是对称矩阵.(2)故AB-BA是对称矩阵.(3)若AB是反对称矩阵，即则有反之，若AB=BA,则即AB是反对称矩阵.7.求下列方阵的逆矩阵:答案(1)故(2)故(3)故(4)故(5)而故8:解下列矩形方程答案(1)矩阵方程为AX=C,其中，，可得到所有(2)矩阵方程为XB=C,其中，可求得于是故(3)矩阵方程为AXB=C,其中.可求得故(4)9:已知线性变换,求从变量而到变量的线性变换及线性变换的矩阵.答案将线性变换写成矩阵形式x=Ay,其中可求得于是，即10:利用逆矩阵求解线性方程组.答案将线性方程组写成矩阵形式Ax=b.其中可求得故于是故.11:设若XA=B+X,求矩阵X.答案由XA=B+X得XA-X=B,即X(A-E)=B.又由故12:设AK=O(K为某一正整数）,证明:答案所以E-A可逆，且.13:设方阵A满足A2-A-2E=O.证明:A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.答案由E,故A可逆，且.又由得(可设(A+2E)(A+aE)=bE,展开得比较系数得a+2=-1,2a-b=-2,即a=-3,b=4.)于是（A+2E)[1/4(3E-A)]=E故A+2E可逆，且.14:设,求A100.答案由故15:设m次多项式答案(1)有归纳假设知结论成立.(2)16:设n阶可逆矩阵A的伴随矩阵为及A0.(1)证明答案(1)方法1.由A可逆知，于是方法2.因为，两边取行列式得即(2)17.设A,B都是n阶可逆矩阵,是A的伴随矩阵，是B的伴随矩阵,证明:答案(1)由于A,B均可逆，所有，从而(2)18:答案由于，其中，所有由于，且又从而由于，且故19:设m阶方阵A及n阶方阵B都可逆，求答案设，其中是n阶方程，是m阶方程，则由得解得故第3章测试题一.问答题1:求下列矩阵的秩:答案(1)(2)(3)可见①当a≠1且b≠2时，rankC=4;②当a=1且b≠2或当a≠1且b=2时，rankC=4；③当a=1且b=2时，rankC=2.(4)可见①当a≠1/1-n且b≠1时，rankD=n;②当a=1时，rankD=1；③当a=1/1-n时，rankD=n-1.2:在秩是r的矩阵中，有没有等于O的r-1阶子式?有没有等于O的r阶子式?答案可能有等于0的r-1阶子式，如的秩为2，它有等于0的1阶子式；可能有等于0的r阶子式,如的秩为1，它有等于0的1阶子式.3:求一个秩为4的方阵，它的前两行是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).答案构造5的阶子阵则detA=0,且A中有一个4阶子式，从而rankA=4,A即是满足要求的矩阵.4:求解下列线性方程组:答案(1)(2)rank=rankA=2＜4,有无穷多解。同解方程组为(3)rank=3,rankA=2,无解.(4)rank=rankA=2＜3,有无穷多解。同解方程组为5:λ取何值时,线性方程组.有解?并求出它的全部解.答案当或，，方程组有解，当时，同解方程组为6:λ取何值时,线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解?在无穷多解时求通解.答案(1)当且时，有唯一解.(2)当时，增广矩阵rank=rankA=1＜3，有无穷多解，同解方程组为当时，增广矩阵rank=3，rankA=2,无解.7:试用初等变换求下列矩阵的逆矩阵:答案(1)故(2)故8:设A是n阶可逆方阵,将A的第i行与第j行对换后得到的矩阵记为B.(1)证明B可逆;(2)求AB-1.答案(1)因为B=E(i,j)A,所有detB=detE(i,j)detA=-detA≠0,即B可逆.(2)9:证明:线性方程组有解的充分必要条件是,在有解的情况下,求出它的通解.答案可见rank=rankA=的充分必要条件是在有解时，由于同解方程组为通解为10:设A,B均为n阶可逆方阵.令证明M可逆，并求M-1.答案方法1.因为两边取行列式得可见M可逆，又由式(*)得方法2.设，其中均是n阶方阵.由得解得，而故第4章测试题一.问答题1:若，向量答案去括号得移项并合并同类项得故2:k是取何值时,向量正交？答案3:将向量表示成的线性组合.答案设，比较分量得增广矩阵于是，故4:判断下列向量组的线性相关性：答案(1)rankA=2＜3，从而线性相关.(2)rankB=3，从而线性无关.(3)rankC=3，从而线性无关.(4)当a=2时，rankD=2，从而线性相关；当a≠2时，rankD=3，从而线性无关.5:设为n维向量组,,证明:(1)当m为偶数时，线性相关;(2)当m为奇数时，若线性相关，则线性相关.答案(1)方法1.由于，所有线性相关.方法2.设，则有即令，其系数行列式，从而该齐次线性方程组有非零解，故线性有关.(2)方法1.设，则有由线性无关知其系数行列式，故只有，即线性无关.方法2.由题设条件有其中，可求得于是这表明向量组等价，由向量组线性无关知其秩为m，从而向量组的秩也为m，故线性无关.6:已知向量组(Ⅰ):;讨论向量组(Ⅱ):的线性相关性.答案有所给关系式得其中由于所以A可逆，于是，这表明向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，从而它们有相同的线性相关性，也即向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)同时线性相关与线性无关.7:求下列向量组的秩和一个极大无关组：答案(1)可见rankA=3,所以向量组的秩为3，又因为B的第1，2，4个行向量构成的向量组线性无关.故是原向量组的一个极大无关组.(2)当k=1时，rankB=2,所以向量组的秩为2，又因为C的第1，3个列向量构成的向量组线性无关，故是一个极大无关组。当k≠1时，rankB=3，此时是极大无关组.8:确定向量,使向量与向量组的秩相同,且可由线性表示.答案由于rankA=2,所以向量组的秩为2，且是一个极大无关组(对应分量不成比例，从而线性无关).由题设知，向量组的秩也为2；又可由线性表示，而有与它的极大无关组等价知，可由线性表示，从而线性相关。令则有联立解得a=3,b=0.故=(2,2,0).9:设n维向量组(Ⅰ):与(Ⅱ):的秩相同，且向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示，证明向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.答案只要证明向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示即可.证明向量组(Ⅱ)的秩为r，且是一个极大无关组，由题设知向量组(Ⅰ)的秩也为r，设，是向量组(Ⅰ)的一个极大无关组，构造向量组(Ⅲ)；。由于向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示，从而可由向量组(Ⅰ)线性表示，进而可由线性表示。故向量组(Ⅲ)的秩为r，且是向量组(Ⅲ)的一个极大无关组，由线性无关知。它也是向量组(Ⅲ)的一个极大无关组，于是可由线性表示，故由向量组(Ⅰ)与等价和向量组(Ⅱ)与等价知，向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示。10:判断下列向量集合是否为向量空间?若是向量空间，试求其维数,并给出一个基.答案(1)因为所以非空。设则有而且可见，故是向量空间.取的向量设计由rankA=n-1知线性无关.任取又设则于是rankB＜n，即，x线性相关.从而x可由线性表示.故是一个基.注也可由定义直接证明线性相关，而由知是的一个基.(2)任取，则有但可见，故不是向量空间.11:已知n维向量组,证明:向量组的极大无关组是向量空间的基.答案设向量组的秩为r，且是一个极大无关组.对任意，即a可由线性表示，从而可由线性表示，而且线性无关，故是的基.12:已知,求向量空间的一个正交基.答案由于的秩为3，所以线性无关，故它是向量空间v的基，正交化得即为V的一个正交基.13:已知设答案可求得即向量组与等价，故.14:设R4的两个基为(1)求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵；(2)求在基(Ⅰ)下的坐标.答案(1)取的基，则其中于是故由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵为(2)故在基(Ⅰ)下的坐标为。15:设4维向量空间V的两个基(Ⅰ):和(Ⅱ):满足(1)求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵；(2)判断是否存在非零向量,使在基(Ⅰ)与基(Ⅱ)下的坐标相同.答案(1)由于所以即由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵为(2)设在两个基下的坐标均为，则由坐标变换公式得由于即rank(C-E)=2＜4,所以(C-E)x=0有非零解，故存在非零向量a，它在两个基下有相同的坐标.注也可求得(C-E)x=0的同解方程组，从而其通解为故16:求下列齐次线性方程组的一个基础解系：答案(1)同解方程组为，取得.故基础解系为(2)同解方程组为,通解为基础解系为(3)即A可逆，只有零解，无基础解系.17:设,求线性方程组AX=b的通解(用向量形式表示).答案(1)当时,同解方程组为,通解为(2)当时,,同解方程组为,通解为18:已知,其中问:(1)a,b取何值，不能由线性表示?(2)a,b取何值，可以由线性表示?(3)a,b取何值，可以由唯一线性表示?答案(1)设,即由于当时,,方程组无解.故不能由线性表示.(2)当时,,方程组有解,故可以由线性表示.(3)当且时,.方程组有唯一解.故可以由唯一线性表示.19:设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量,求该方程组的通解.答案设非齐次线性方程组为，则是它的特解.又设则由知,是对应齐次线性方程组的解.由题设条件知的基础解系含4-3=1个解向量,从而是的基础解系.故的通解为20:设A,B都是n阶方阵,且,证明答案设,其中是B的列限量.则由得,即的解向量,从而它们都可由的基础解系线性表示.单的基础解系含有个解向量.于是此即21:设是非齐次线性方程组的n-r+1个线性无关的解向量，其中A是秩为r的矩阵.求证:是对应齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.答案由得于是是的解向量.设,即由线性无关得则.故是的n-r个线性无关的解向量,从而它是的一个基础解系.22:设A是矩阵,与是非齐次方程组Ax=b的两个不同的解向量,是对应的其次方程组Ax=0的非零解向量.证明:若,则向量组线性相关。答案由知，.又由知,的基础解系含n-(n-1)=1个解向量,从而是的基础解系.故可由线性表示,即,线性相关.第5章测试题一.问答题1:求下列矩阵的特征值和特征向量,并说明它们的特征向量是否两两正交?答案(1)所以A的特征值为.对于,求解,由于同解方程组为,基础解系为.故对应的全