常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6)学院______班级_______学号_______姓名_______成绩_______一．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。2、________________称为齐次方程。3、求dxdy=f(x,y)满足00)(yx的解等价于求积分方程____________________的连续解。4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程),(yxfdxdy的解y=),,(00yxx作为00,,yxx的函数在它的存在范围内是__________。5、若)(),...(),(321txtxtx为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。6、方程组xtAx)(/的_________________称之为xtAx)(/的一个基本解组。7、若)(t是常系数线性方程组Axx/的基解矩阵，则expAt=____________。8、满足___________________的点（**,yx），称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（共6小题，每题10分）。1、求解方程：dxdy=312yxyx2.解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程23dxdy31y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：texxxtcos32///5、试求方程组Axx/的一个基解矩阵，并计算3421,为其中AeAt6、试讨论方程组cydtdybyaxdtdx,（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。三、证明题（共一题，满分10分）。试证：如果Axxt/）是（满足初始条件)(0t的解，那么)(t)(0ttAe常微分方程期末考试答案卷一、填空题。（30分）1、xyxNyyxM),(),(2、)(xyfdxdy3、y=0y+dxyxfxx0),(4、连续的5、w0)(),...,,(),(21txtxtxn6、n个线性无关解7、)0()(1t8、X(x,y)=0,Y(x,y)=09、为零稳定中心二、计算题。（60分）1、解：(x-y+1)dx-(x+2y+3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-2ydy-3dy=0即21d2x-d(xy)+dx-331dy-3dy=0所以Cyyxxyx33121322、解：2)(1)(2yxyxdxdy，令z=x+y则dxdydxdz1,212121zzzzdxdzdxdzzz12所以–z+3ln|z+1|=x+1C，ln3|1|z=x+z+1C即yxCeyx23)1(3、解：设f(x,y)=2331y,则)0(2132yyyf故在0y的任何区域上yf存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，显然，0y是通过点（0，0）的一个解；又由23dxdy31y解得，|y|=23)(cx所以，通过点（0，0）的一切解为0y及|y|=是常数0),()()(023ccxcxcx4、解：(1)i21,0322,12齐次方程的通解为x=)2sin2cos(21tctcet(2)i1不是特征根，故取tetBtAx)sincos(代入方程比较系数得A=415，B=-414于是tettx)sin414cos415(通解为x=)2sin2cos(21tctcet+tett)sin4cos5(4115、解：det(AE)=05434212所以，5,121设11对应的特征向量为1v由0110442211vv可得取211121vv同理取所以，)(t=251vevetttttteeee552ttttttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeeeete5555551551222231111223121112)0()(6、解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件00accba，故奇点为原点（0，0）又由det(A-E)=0)(02accacba得ca21所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：a，c为实数不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00cacabbcaaccacaacca三、证明题。（10分）证明：设)(t的形式为)(t=CeAt（1）（C为待定的常向量）则由初始条件得)(0t=CeAt0又1)(0Ate=0Ate所以，C=1)(0Ate=0Ate代入（1）得)(t=)(00ttAAtAteee即命题得证。