江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考数学试题

江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期第二次月考高三数学试卷(Ⅰ)(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合02Axx≤，集合12Bxx，则BA▲．2．若复数2i(1i)(+i)(,),ababR其中是虚数单位，则b▲．3．甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从甲、乙两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为▲．4．如图所示的流程图，是一个算法流程图,则输出的的值是▲．5．已知抛物线方程242yx，则抛物线的焦点坐标为▲．6．已知函数22()log(21)xfxx，则函数()fx的定义域为▲．7．在△ABC中，ABC＝120，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则BD·BE的值为▲．8.已知实数,xy满足约束条件222441xyxyxy，则目标函数3zxy的取值范围为▲．9.已知数列na是等比数列，若3578aaa，则155914aaaa的最小值为▲．10．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2219xym的两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为▲．11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，7AC，BB1＝3，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为▲．12．若方程22sinsin0xxm在2,0上有且只有两解，则实数m的取值范围▲．13.已知等边ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足等式PBPA的点P有两个，则实数的取值范围是▲．ACBA1B1C1D（第11题图）开始0n2nn202n输出n结束（第4题）NY14．已知函数，，，00ln)(2xxaxxxxf其中0a，若函数()yfx的图象上恰好有两对关于y轴对称的点，则实数的取值范围为▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知函数Rxxxxf),6cos()3cos(2)(.(1)求函数()fx的最小正周期；(2)在ABC中，角CBA,,的对边分别为cba,,.若锐角A满足21)(Af，6C且2c=，求ABC的面积.16.(本题满分14分)如图，在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，点M为棱11AB的中点．求证：(1)//AB平面11ABC；(2)平面1CCM平面11ABC．17.（本题满分14分）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为（弧度）的扇形观景水池，其中(0,2)，O为扇形AOB的圆心，同时紧贴水池周边(即：OBOA、和所对的圆弧)建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元.(1)若总费用恰好为24万元，则当和分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积；(2)若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少？ABCA1B1C1M（第16题）18．（本题满分16分）已知椭圆C：22221(0)yxabab的离心率为，且上焦点为(0,1)F，过F的动直线与椭圆C相交于M、N两点．设点(3,4)P，记PM、PN的斜率分别为1k和2k．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线的斜率等于1，求12kk的值；（3）探索1211kk是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出1211kk的取值范围．19．(本题满分16分)已知数列{an}为等比数列，11,a公比为,1,qq且nS为数列{an}的前n项和.（1）若3520,aa求84SS;（2）若调换123,,aaa的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值；（3）是否存在正常数,cq，使得对任意正整数n，不等式2nnSSc总成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．lNyxOFMP20．(本题满分16分)已知函数()(2)exfxax，2()(1)gxx.(1)若曲线()ygx的一条切线经过点(0,3)M-，求这条切线的方程.(2)若关于的方程()()fxgx有两个不相等的实数根x1，x2。①求实数a的取值范围；②证明：122xx.数学Ⅱ（附加题）(满分40分，考试时间30分钟)21．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．B．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵Aabcd，若矩阵A属于特征值11的一个特征向量为111a，属于特征值24的一个特征向量为232a．求矩阵A．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为：4cos,3sinxy为参数．以平面直角坐标系原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1)4sin(．点P为曲线C上的动点，求点P到直线距离的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22.如图，在三棱锥ABCD中，已知,ABDBCD都是边长为的等边三角形，平面ABD⊥平面BCD，F为线段AB的中点．（1）求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）求直线CF与平面ACD所成角的余弦值.FDCBA23．从个整数1,2,3,,n（3n）中任取)2(nmm个数，记这m个数的和是3的倍数的概率为)(nfm.求：（1）)18(3f；（2）)(2nf.江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期月考高三数学试卷(Ⅰ)参考答案1．1,22．123．984．65.)0,2(6．1,11,227．1198．1,69．110．2323或11．3612．1(1,3)813．10414．0,115.解：(1))6cos()]3(2sin[2)6cos()3cos(2)(xxxxxf)32sin(2)6cos()6sin(2xxx………………5分所以，函数的最小正周期2T.……………………………………7分(2).21)32sin(2,21)(AAf,21)32sin(A因为A为锐角，所以32323,20AA.所以，632A，得,4A………………………9分由正弦定理，,22.sinsinacaAC得出==………………………11分所以，426sincoscossin)sin()sin(sinCACACACAB.所以3142622221sin21BacS…………………14分16.证明：（1）在三棱柱111ABCABC中，11//ABAB，………………2分又AB平面11ABC，11AB平面11ABC，所以//AB平面11ABC．………………6分（2）在直三棱柱111ABCABC中，1CC平面111ABC，又11AB平面111ABC，所以1CC11AB．………………8分因为ACBC，所以1111ACBC．又因为点M为棱11AB的中点，所以1CM11AB．………………10分又1CC11CMC，1CC，1CM平面1CCM，所以11AB平面1CCM．………………12分又11AB平面11ABC，所以平面1CCM平面11ABC．………………14分17.解(1)法1：弧长AB为r，扇形AOB面积为212Sr，……………………（2分）则214001000(2)240000.2rrr即25(2)1200.rrr…………（4分）所以2120010.5rrr22211120010225rSrrrr…………（6分）6256256505(5)65052(5)400.(5)(5)rrrr当且仅当6255,205rrr即时取等号，此时2(0,2)…………（8分）答：20r，2，面积最大值为400平方米.法2：利用基本不等式.22225(2)522102rrrrrrrr(2)由10522105,=,rrrr得出……………（9分）211(1052)22Srrr,…………（10分）所以210520=2,5(2)1200rrrrr所以105105222,15,452rrr所以105452r…………（12分）.211(1052)22Srrr,10545,2r，所以45r，13时，水池的最大面积为337.5平方米.………………（14分）答：的取值范围为105452r，且当45r，13，水池的最大面积为337.5平方米.18.解：（1）12cea，1c，222,3abac，椭圆方程为22143yx.……………………(3分)（2）因为直线MN的斜率等于1，且经过焦点F，所以直线:1MNyx，……………………（4分）设11(,)Mxy、22(,)Nxy，由221143yxyx消y得27690xx，则有1267xx，1297xx．……………………（7分）所以12121212121212121244333()9233333()9yyxxxxxxkkxxxxxxxx.（10分）（3）当直线MN的斜率不存在时，(0,2)M，(0,2)N，则1422303k，142230k，故12112kk．………………(11分)当直线MN的斜率存在时，设其为，则直线MN：1ykx，设11(,)Mxy，22(,)Nxy，由221143ykxyx消y得2222(43)8(412)0kxkxk，……………………(13分)则有122634kxxk，122934xxk．所以12121221121212123333(3)(3)(3)(3)114433(3)(3)xxxxxkxxkxkkyykxkxkxkx12122121223(1)()183()9kxxkxxkxxkxx……………………(14分)222229623(1)18343496393434kkkkkkkkkk2272(1)236(1)kk.所以1211kk为定值，且定值为2.……………………(16分)19.解：解：（1）因为3520,aa所以42200qq，所以24q或25q（舍去）．……………………（1分）所以484117.SqS……………………（3分）（2）若213,,aaa或312,,aaa成等差数列，则2132=+,2=0aaaqq2，解得2q或1（舍去）；若132,,aaa或231,,aaa成等差数列，则2312=+,2-1=0aaaqq2，解得12q或1（舍去）；……………………（5分）若321,,aaa成等差数列，则2231=+,-21=0aaaqq2，解得1q（舍去）.综上，12.2q或（7分）（3）由20nnSSc，可得20nnScSc，故等价于2ncSc恒成立.（8分）因为,11a0,na所以1,nS得到1.c当1q时，22c2S不可能成立.（10分）当1q12时，另121nqq，得21nqq