2019年全国高中数学联合竞赛试题及解析(AB合版)

2019年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.已知正实数a满足8(9)aaaa=，则log(3)aa的值为．答案：916．解：由条件知189aa=，故91639aaaa=⋅=，所以9log(3)16aa=．2.若实数集合{1,2,3,}x的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为．答案：32-．解：假如0x³，则最大、最小元素之差不超过max{3,}x，而所有元素之和大于max{3,}x，不符合条件．故0x，即x为最小元素．于是36xx-=+，解得32x=-．3.平面直角坐标系中，e是单位向量，向量a满足2ae⋅=，且25aate£+对任意实数t成立，则a的取值范围是．答案：[5,25]．解：不妨设(1,0)e=．由于2ae⋅=，可设(2,)as=，则对任意实数t，有2222455(2)saatets+=£+=++，这等价于245ss+£，解得[1,4]sÎ，即2[1,16]sÎ．于是24[5,25]as=+Î．4.设,AB为椭圆G的长轴顶点，,EF为G的两个焦点，4,AB=23,AF=+P为G上一点，满足2PEPF⋅=，则PEFD的面积为．答案：1．解：不妨设平面直角坐标系中G的标准方程为22221(0)xyabab+=．根据条件得2224,23aABaabAF==-==+，可知2,1ab==，且22223EFab=-=．由椭圆定义知24PEPFa+==，结合2PEPF⋅=得()2222212PEPFPEPFPEPFEF+=+-⋅==，所以EPF为直角，进而112PEFSPEPFD=⋅⋅=．5.在1,2,3,,10中随机选出一个数a，在1,2,3,,10----中随机选出一个数b，则2ab+被3整除的概率为．答案：37100．解：数组(,)ab共有210100=种等概率的选法．考虑其中使2ab+被3整除的选法数N．若a被3整除，则b也被3整除．此时,ab各有3种选法，这样的(,)ab有239=组．若a不被3整除，则21(mod3)aº，从而1(mod3)bº-．此时a有7种选法，b有4种选法，这样的(,)ab有7428´=组．因此92837N=+=．于是所求概率为37100．6.对任意闭区间I，用IM表示函数sinyx=在I上的最大值．若正数a满足[0,][,2]2aaaMM=，则a的值为．答案：56p或1312p．解：假如02ap£，则由正弦函数图像性质得[0,][,2]0sinaaaMaM=£，与条件不符．因此2ap，此时[0,]1aM=，故[,2]12aaM=．于是存在非负整数k，使得51322266kaakpppp+££+，①且①中两处“£”至少有一处取到等号．当0k=时，得56ap=或1326ap=．经检验，513,612app=均满足条件．当1k³时，由于13522266kkppppæö÷ç++÷ç÷çèø，故不存在满足①的a．综上，a的值为56p或1312p．7.如图，正方体ABCDEFGH-的一个截面经过顶点,AC及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则EKKF的值为．答案：3．解：记a为截面所在平面．延长,AKBF交于点P，则P在a上，故直线CP是a与平面BCGF的交线．设CP与FG交于点L，则四边形AKLC为截面．因平面ABC平行于平面KFL，且,,AKBFCL共点P，故ABCKFL-为棱DHGFEABCK台．不妨设正方体棱长为1，则正方体体积为1，结合条件知棱台ABCKFL-的体积14V=．设PFh=，则1KFFLPFhABBCPBh===+．注意到,PBPF分别是棱锥PABC-与棱锥PKFL-的高，于是111466PABCPKFLVVVABBCPBKFFLPF--==-=⋅⋅-⋅⋅3221331(1)1616(1)hhhhhhæöæö++÷ç÷ç÷ç=+-=÷÷çç÷ç÷èø÷ç++èø．化简得231h=，故13h=．从而13EKAEKFPFh===．8.将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为．答案：498．解：将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的全体记为A．易知55!600A=´=（这里及以下，X表示有限集X的元素个数）．将A中2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B；A中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为C；A中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为D．易知4!B=，5!BC+=，44!BD+=´，即24,96,72BCD===．由B中排列产生的每个8位数，恰对应B中的224´=个排列（这样的排列中，20可与“2,0”互换，19可与“1,9”互换）．类似地，由C或D中排列产生的每个8位数，恰对应C或D中的2个排列．因此满足条件的8位数的个数为\()42BCDABCD+++3600184836498422BCDA=---=---=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在ABCD中，,,BCaCAbABc===．若b是a与c的等比中项，且sinA是sin()BA-与sinC的等差中项，求cosB的值．解：因b是,ac的等比中项，故存在0q，满足2,bqacqa==．①因sinA是sin(),sinBAC-的等差中项，故2sinsin()sinsin()sin()2sincosABACBABABA=-+=-++=．…………………4分结合正、余弦定理，得222sincossin2aAbcaAbBbc+-===，即2222bcaac+-=．…………………8分αLPDHGFEABCK将①代入并化简，可知24212qqq+-=，即421qq=+，所以2512q+=．…………………12分进而22242221151cos222cabqqBacqq+-+--====．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，圆W与抛物线2:4yxG=恰有一个公共点，且圆W与x轴相切于G的焦点F．求圆W的半径．解：易知G的焦点F的坐标为(1,0)．设圆W的半径为(0)rr．由对称性，不妨设W在x轴上方与x轴相切于F，故W的方程为222(1)()xyrr-+-=．①将24yx=代入①并化简，得2221204yyryæö÷ç÷-+-=ç÷ç÷çèø．显然0y，故222221(4)12432yyryyyæöæö÷+ç÷ç÷ç÷=-+=÷çç÷÷ç÷çç÷èø÷çèø．②…………………5分根据条件，②恰有一个正数解y，该y值对应W与G的唯一公共点．考虑22(4)()(0)32yfyyy+=的最小值．由平均值不等式知432224444443333yyyæö÷ç+=+++³⋅÷ç÷çèø，从而321443()163239fyyyæö÷ç³⋅⋅=÷ç÷çèø．当且仅当243y=，即233y=时，()fy取到最小值439．………………15分由②有解可知439r³．又假如439r，因()fy随y连续变化，且0y+及y+¥时()fy均可任意大，故②在230,3æö÷ç÷ç÷ç÷÷çèø及23,3æö÷ç÷+¥ç÷ç÷÷çèø上均有解，与解的唯一性矛盾．综上，仅有439r=满足条件（此时123,33æö÷ç÷ç÷ç÷÷çèø是W与G的唯一公共点）．…………………20分11.（本题满分20分）称一个复数数列{}nz为“有趣的”，若11z=，且对任意正整数n，均有2211420nnnnzzzz++++=．求最大的常数C，使得对一切有趣的数列{}nz及任意正整数m，均有12mzzzC+++³．解：考虑有趣的复数数列{}nz．归纳地可知*0()nznN¹Î．由条件得2*114210()nnnnzznzzN++æöæö÷÷çç÷÷++=Îçç÷÷çç÷÷ççèøèø，解得*113i()4Nnnznz+-=Î．因此1113i142nnnnzzzz++-+===，故*11111()22Nnnnzzn--=⋅=Î．①…………………5分进而有*111133i31()242Nnnnnnnnzzzznz++-+=⋅+=⋅=Î．②记*12()NmmTzzzm=+++Î．当*2()Nmss=Î时，利用②可得122122smkkkTzzzz-=³+-+å212232kkkzz¥-=-+å212333223kk¥-==-=å．…………………10分当*21()Nmss=+Î时，由①、②可知2121222121111332322skksskkskszzz¥¥+---=+=+===+⋅åå，故12212212smkkskTzzzzz-+=æö÷ç³+-+-÷ç÷ç÷èøå21223323kkkzz¥-=-+=å．当1m=时，11313Tz==．以上表明33C=满足要求．…………………15分另一方面，当*122122113i13i1,,()22Nkkkkzzzk++-+--===Î时，易验证知{}nz为有趣的数列．此时2112211limlim()sskksskTzzz++¥¥==++å21133i33i43lim112833sksk+¥=---+=+=+⋅=å，这表明C不能大于33．综上，所求的C为33．…………………20分2019年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）如图，在锐角ABCD中，M是BC边的中点．点P在ABCD内，使得AP平分BAC．直线MP与,ABPACPDD的外接圆分别相交于不同于点P的两点,DE．证明：若DEMP=，则2BCBP=．证明：延长PM到点F，使得MFME=．连接,,BFBDCE．由条件可知BDPBAPCAPCEPCEM====．………………10分因为BMCM=且EMFM=，所以BFCE=且//BFCE．于是FCEMBDP==，进而BDBF=．………………20分又DEMP=，故DPEMFM==．于是在等腰BDFD中，由对称性得BPBM=．从而22BCBMBP==．………………40分二、（本题满分40分）设整数122019,,,aaa满足122019199aaa=£££=．记22212201913243520172019()()faaaaaaaaaaa=+++-++++．求f的昀小值0f．并确定使0ff=成立的数组122019(,,,)aaa的个数．解：由条件知2017222221220182019212()iiifaaaaaa+==++++-å．①由于12,aa及2(1,2,,2016)iiaai+-=均为非负整数，故有221122,aaaa³³，且222()(1,2,,2016)iiiiaaaai++-³-=．于是201620162221221222017201811()()iiiiiiaaaaaaaaaa++==++-³++-=+åå．②………………10分FEDMBCAP由①、②得2222017201820192017201820192()faaaaaa³++-++，结合201999a=及201820170aa³，可知()22220172017201712(99)992faaa³+-++22017(49)74007400a=-+³．③…………