2020高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用第6节指数与指数函数课件文新人教A版

函数、导数及其应用第二章第六节指数与指数函数1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象．4.体会指数函数是一类重要的函数模型．02课堂互动·考点突破栏目导航01课前回扣·双基落实1．有理数指数幂(1)幂的有关概念：①正分数指数幂：amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)．②负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂________.01课前回扣·双基落实没有意义(2)有理数指数幂的性质：①aras＝________(a0，r，s∈Q)；②(ar)s＝________(a0，r，s∈Q)；③(ab)r＝________(a0，b0，r∈Q)．ar＋sarsarbr2．指数函数的图象与性质(0，＋∞)y＝axa10a1图象定义域R值域________过定点________当x0时，________；当x0时，________；当x0时，________当x0时，________性质在R上是________在R上是________(0,1)y10y10y1y1增函数减函数1.指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1或0a1.2．指数函数图象在坐标系中的位置如图所示，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．题组一判断正误⇔VS概念辨析1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)nan＝(na)n＝a(n∈N*)．()(2)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘．()(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．()(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.()(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．()××√×√题组二教材母题⇔VS高考试题[教材母题](P57例7)比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1.[高考试题]2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜bA解析因为a＝243，b＝425＝245，由函数y＝2x在R上为增函数知ba；又因为a＝243＝423，c＝2513＝523，由函数y＝x23在(0，＋∞)上为增函数知ac.综上得bac.题组三教材改编⇔VS最新模拟3．(P56T4改编)化简416x8y4(x0，y0)得()A．2x2yB．2xyC．4x2yD．－2x2yD解析因为x0，y0，所以416x8y4＝(16x8·y4)14＝(16)14·(x8)14·(y4)14＝2x2|y|＝－2x2y.4．(P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象经过点P2，12，则f(－1)＝_______.2解析由题意知12＝a2，所以a＝22，所以f(x)＝22x，所以f(－1)＝22－1＝2.5．(2019·山东临沂摸底)若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是_____________________________.(－2，－1)∪(1，2)解析由题意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，得－2＜a＜－1或1＜a＜2.解析对于A，(－2)－2＝14，故A错误；对于B,2a－3＝2a3，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a－14)4＝1a，故D正确．1．若实数a0，则下列等式成立的是()A．(－2)－2＝4B．2a－3＝12a3C．(－2)0＝－1D．(a－14)4＝1a02课堂互动·考点突破自主完成考点一指数幂的化简与求值D2．化简：a23·b－1－12·a－12·b136a·b5＝________.1a解析原式＝a－13·b12·a－12·b13a16·b56＝a－13－12－16·b12＋13－56＝1a.1003．化简：2790.5＋0.1－2＋21027－23－3π0＋3748＝_______.解析原式＝25912＋10.12＋6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.误区警示分数指数幂中的指数不能随便约分！指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．解析y＝|f(x)|＝|2x－2|＝2x－2，x≥1，2－2x，x1，易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|≥0.又y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递减．(1)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是()师生共研考点二指数函数的图象及应用B(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是____________.[－1,1]解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．[变式探究]若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．解曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[训练1]函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0解析由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0.D[训练2]已知函数f(x)＝|2x－1|，abc，且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a0，b0，c0B．a0，b≥0，c0C．2－a2cD．2a＋2c2D解析作出函数f(x)＝|2x－1|的图象(如图中实线所示)，又abc，且f(a)f(c)f(b)，结合图象知f(a)1，a0，c0，∴02a1,2c1，∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，f(c)＝|2c－1|＝2c－1.又f(a)f(c)，即1－2a2c－1，∴2a＋2c2.解析由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.指数函数的性质特别是单调性，备受高考命题专家的青睐.高考常以选择题或填空题的形式出现，考查幂值大小比较、解简单不等式、判断指数函数单调性以及求指数函数的最值等问题，难度偏小，属中低档题．考向1：比较指数式的大小(2019·黑龙江七台河月考)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a多维探究考点三指数函数的性质及应用A考向2：简单的指数方程或不等式问题(1)(2019·福建福州模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a－x，x0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________.12解析当a1时，41－a＝21，解得a＝12；当a1时，代入不成立．故a的值为12.(2)设函数f(x)＝12x－7，x0，x，x≥0，若f(a)1，则实数a的取值范围是____________.(－3,1)解析当a0时，不等式f(a)1可化为12a－71，即12a8，即12a12－3，∴a－3.又a0，∴－3a0.当a≥0时，不等式f(a)1可化为a1.∴0≤a1，综上，a的取值范围为(－3,1)．考向3：探究指数型函数的性质(1)若函数f(x)＝a|2x－4|(a0，且a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]B解析由f(1)＝19，得a2＝19，解得a＝13或a＝－13(舍去)，即f(x)＝13|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．(2)函数y＝14x－12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________.34，57解析∵x∈[－3,2]，∴令t＝12x，则t∈14，8，故y＝t2－t＋1＝t－122＋34.当t＝12时，ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为34，57.(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．[训练1]设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．acbC．bacD．bca解析因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5a＝0.60.61.又c＝1.50.61，所以bac.C[训练2](2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)()A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数A解析∵函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．∵函数y＝13x在R上是减函数，∴函数y＝－13x在R上是增函数．又∵y＝3x在R上是增函数，∴函数f(x)＝3x－13x在R上是增函数．(－∞，1][训练3]函数f(x)＝12－x2＋2x＋1的单调减区间为____________.解析设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝12u在R上为减函数，所以函数f(x)＝(12)－x2＋2x＋1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以f(x)的减区间为(－∞，1]．核心素养系列(九)逻辑推理——指数函数问题中的核心素养以指数函数的性质为依据，结合题设条件，以及所掌握的其他数学知识，经过逻辑推理，解决问题.[素养练]当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是____________.(－1,2)解析原不等式变形为m2－m＜12x，∵函数y＝12x在(－∞，－1]上是减函数，∴12x≥12－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜12x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.