曲面积分习题课-

曲面积分习题课22[,,(,)]1dd;xyxyDfxyzxyzzxy(,,)dfxyzS),(:)1yxzz若曲面则如果曲面方程为以下三种：22[,(,),]1dd;xzxzDfxyxzzyyxz(,,)dfxyzS则),(:)2zxyy若曲面第一类曲面积分1.基本计算公式22[(,),,]1dd.yzyzDfxyzyzxxyz(,,)dfxyzS),()3zyxx：若曲面则计算的关键是看所给曲面方程的形式！！！•若则有zyzyxPdd),,(),(zy,PzyD),(zyxzydd•若则有xzzyxQdd),,()z,,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)若yxzyxRdd),,((,,)xyDRxy),(yxzyxdd注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.(上正下负)则有第二类曲面积分yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos两类关系向量点积法,1,,),,(:yxffyxfz法向量为设ddddddIPyzQzxRxy{,,}{,,1}ddxyPQRffxy{,,}{,,1}dd.xyxyDxoyPQRffxy将在面投影两类关系公式的另一种表达形式向量点积法:(,),,1,,xzygxzgg设法向量为ddddddIPyzQzxRxy{,,}{,1,}ddxzPQRggxz{,,}{,1,}dd.xzxzDxozPQRggxz将在面投影向量点积法:(,),1,,,yzxhyzhh设法向量为ddddddIPyzQzxRxy{,,}1,,ddyzPQRhhyz{,,}1,,dd.yzyzDyozPQRhhyz将在面投影设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数),,(zyxP、),,(zyxQ、),,(zyxR在上具有一阶连续偏导数,则有公式RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(一、高斯公式()d(coscoscos)dPQRvPQRSxyz或定理这里是的整个边界曲面的外侧，cos,cos,cos是上点),,(zyx处的法向量的方向余弦.设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为),,,(RQPASnAd2.通量与散度G内任意点处的散度为zRyQxPAdiv定理设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数),,(zyxP,),,(zyxQ,),,(zyxR在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式斯托克斯(stokes)公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式yozx斯托克斯(Stokes)公式nddddddyzzxxyxyzPQRzRyQxPdddcoscoscosdSxyzPQR2.旋度(rot).ijkAxyzPQR称向量为向量场的旋度.)()()(kyPxQjxRzPizQyR2.基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化2222d,,06xSxyaz求其中为柱面22ddxSyS222231ddd622axSxySSa解：由于关于变量x,y轮换对称性例1,122222的上半部分为椭球面设zyxS,Π,),,(处的切平面在点为点PSSzyxP,Π)0,0,0(的距离到平面为点O解,),,(上任意一点为设ZYX的方程为则得出122zZyYxX由点到平面的距离公式,得例2),,(zyx.d),,(SzyxzS求222441),,(zyxzyx22122yxz由,221222yxxxz221222yxyyzyxyzxzSdd1d22得yxyxyxdd221242222所以SzyxzSd),,(xyDyxyxdd)4(412232122:22yxDxyyxyxyxSdd22124d2222222441),,(zyxzyx222001d(4)d4rrr222sind.yxyzS求224zxyz为旋转抛物面被平面所截得的部分。222sind0yxyzS解：利用奇偶对称性例3222dddddd,1,2Iyyzxzxzxyzxyzz计算其中为锥面被平面所截部分的外侧．例4解,,2222yxyfyxxfyxD利用向量点积法法1：21220rdrrd.2152ddzxy22()ddxyDxyxy22222,,,,1ddxyIyxzxyxyxy]41:[22yxDxy用高斯公式.补面：取下面，221:1,1zxy取上面。222:2,4zxy则构成封闭曲面，且取外侧。12122dddddd,yyzxzxzxy计算2,,PyQxRz由高斯公式dddddd()dPQRPyzQzxRxyvxyz法2：122dddddd,yyzxzxzxy2dzv22211152ddd2d2zDzzxyzzz12()ddddddyyzxzxzxy下侧22()dddddd16yyzxzxzxy上侧1122I下下外上152122dddddd,yyzxzxzxy2zdv21222200101dd2ddd2drrrzzrrzz（柱坐标）注意：若用柱面坐标计算三重积分，要分区域考虑。,dd]),,([dd]),,(2[dd]),,([yxzzyxfxzyzyxfzyxzyxfI计算例5解利用两类曲面积分之间的关系的法向量为,31cos)1,1,1(n,31cos31cos,),,(为连续函数其中zyxf在第四卦限部分的为平面1zyx上侧.zxyO111]),,([{xzyxfISzyxd)(31xyDyxdd313121Sd131]}),,([]),,(2[zzyxfyzyxfxzyzyxfzyxzyxfIdd]),,(2[dd]),,([yxzzyxfdd]),,([313131SdxyO11d111dd3ddSxyxy:1xyzzyxodddddd,xyzyzxzxy其中的上侧.且取下侧,提示:以半球底面0原式=3323R032R0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx记半球域为,高斯公式有计算为辅助面,利用为半球面例6例7.证明:设(常向量)则单位外法向向量,试证Sdcoscoscoscoscoscos0zyddcosxzddcosyxddcos设为简单闭曲面,a为任意固定向量,n为的Sa,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn例8.计算曲面积分其中,,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解:313dddxyzR（高斯公式）引申:1.本题改为椭球面1222222czbyax时,应如何计算?应如何计算?2.若本题改为不经过原点的任意闭曲面的外侧，1222222czbyax:,222zyxr计算：其中：3xPr3yQr3zRr2223355133()xPxxrxxrrrr22353()yQyryyrr22353()yRzrzzrrx,y,z当()0,0,0引申:122221:()xyz充分小取内侧，然后用高斯公式.0PQRxyz1313dddxyz（高斯公式）引申:2分两种情形情形1：不包围原点的任意闭曲面。情形2：包围原点的任意闭曲面。问题转化为与引申1类似的情形。例9.设是曲面2221:zxy23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI解:取足够小的正数,作曲面取下侧使其包在内,为xoy平面上夹于之间的部分,且取下侧,1与21ozyx取上侧,计算,)0(z则221ozyx)2(133I1dddddd13yxzxzyzyx2第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得0dv232220dd()xyxy例10.计算曲面积分中是球面.22222zxzyx解:Szxd)22(SzyxId)(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用对称性用重心公式(曲面关于xoz面对称）xzoy例11.设L是平面与柱面的交线从z轴正向看去,L为逆时针方向,计算解:记为平面上L所围部分的上侧,D为在xoy面上的投影.I313131223yxSzyxd)324(3222zy222xzSzyxdLD由斯托克斯公式Dyxyxdd)6(2Dxyo11Dyxdd1224SzyxId)324(32222xyz1.设为球面++=1的上半部分的上侧，则下列式子错误的是()2dd0Axyzdd0Byyzdd0Cxyz2dd0DyyzC选择题：222221,d.yozyzxyzS2.设是平面上的圆域则等于0;A;B;4C.2D22221,dd.xyzxyzDxoyxyzyz3.设是旋转抛物面+,1的外侧，是平面上圆域则可化为二重积分222dd;xyDAxyxxy222dd;xyDBxyxxy222dd;xyDCxyyxy22dd;xyDDxyxyDA24.dd.x+y+zxyzxy2已知曲面为=1在第一卦限部分且方向向下，则等于B112200d1d;xAxxyxyy112200d1d;xBxxyxyy112200dd;xCyxyzx112200dd.xDxxyzy5..2222x+y+z=R设S为球面：，在下列四组积分中，同一组的两个积分均为零的是22d,dd;SSAxSxyz2d,dd;SSBxSxyzd,dd;SSCxSxyzd,dd.SSDxySy