椭圆型偏微分方程1

1《偏微分方程教程》第六章椭圆型方程2§1调和函数【知识点提示】Green公式，基本解，调和函数，调和函数的基本性质。【重、难点提示】利用Green公式导出基本积分公式，进而研究调和函数的基本性质。【教学目的】掌握调和函数的定义和性质。31.1.Green公式散度定理：设是n维空间中以足够光滑的曲面所围成的有界连通区域,n是曲面的外单位法向.若函数12()inPxxx(12)in在闭区域上连续,在内有一阶的连续偏导数,则111cos(),nniniiiiiPdxdxPnxdSx(1.1)其中cos()inx表示曲面的外单位法向n与ix轴的方向余弦,dS是上的面积元素.4Green公式的推导：设函数12()nuxxx和12()nvxxx在内有连续的二阶偏导数.在公式(1.1)中令12iivPuinx得到111cos()nnniiiiiivvudxdxunxdSxxx(1.2)(1.2)可改写成为1iinnxxivuvduvdudSn(1.3)5uv若将(1.3)中的和互相对换,又得1iinnxxiuvudvudvdSn(1.4)我们把(1.3)与(1.4)都称作第一Green公式.若将(1.3)与(1.4)相减,则得()nnvuuvvuduvdSnn(1.5)我们把(1.5)称为第二Green公式.1.2.调和函数与基本解定义6.1对于函数12()nuxxx,如果它在n维空间nR的有界区域内有直到二阶的连续偏导数,且在内满足Laplace方程：611220nnnxxxxxxuuuu(1.6)则称u在区域内是调和函数.如果0(0)nu,则称在区域u内是下调和(上调和)函数.如果是无界区域,则除上面的要求外,还应要求当点12()nPxxx趋于无穷远时,函数u一致趋于零.即对于任意小的正数,存在正数A,使当点P与坐标原点的距离rA时,总有()uP按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作调和方程.调和方程的基本解我们仅考虑三维空间和二维空间的情形.7首先我们考虑三维的情形.用()xyz表示三维空间中的点123()xxx改写三维空间的调和方程为球坐标形式.设球坐标变换为000sincossinsincos.xxryyrzzr则(1.6)(取3n)可化为22322222111()(sin)0sinsinuuuurrrrrr(1.7)由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球对称解是满足以r为自变量的常微分方程221()0urrrr8其通解可写为12cucr这里1c2c是任意常数.所以函数,1ur是一个球对称特解,从而推得22200011()()()rxxyyzz在任一不包含点0000()Pxyz的区域内是调和的,它在点0P处有奇性.称函数22200011()()()rxxyyzz为三维Laplace方程(1.6)的基本解9注基本解在000()()xyzxyz时关于()xyz或000()xyz都是调和且无穷次可微.函数其次,考虑二维Laplace方程20xxyyuuu在极坐标变换00cossinxxryyr下它可化为222211()0uuurrrrr(1.8)二维Laplace方程的基本解1lnr定理6.1设函数()uxyz在有界区域内二阶连续可微,在上连续且有连续的一阶偏导数,则当点0000()Pxyz时,有10301111()()44uuuPudSdrnnrr(1.9)其中222000()()()rxxyyzzn是边界曲面的外单位法向,dS是曲面上的面积单元,d是体积单元.0PKK证以为中心为半径作球使表示该球的球面,于是在区域K‚u1vr上,函数和都满足第二Green公式的条件,代入公式(1.5)得331111()(),KuuududSrrnrrn‚(1.10)1rK‚31()0r因为在区域内是调和函数,所以有.另外边界上任一点的外法线方向实际上是从该点沿着半径指向球心0P的方向,所以在上有11221111()()nrrrr从而得到在上的积分为211()1144()uudSnrrnuudSdSnuun其中uunuun和分别是函数和在球面上的平均值.于是(1.10)可写成3111()4().KuuududSurnrrnn‚因为u及un在上连续，所以un关于一致有界,且当0时,有0()uuP0unK‚,12于是由上式即得0311111()()44uuPudSudrnnrr定理证毕.今后,我们将公式(1.9)称为三维空间中的基本积分公式.定理6.2设函数()uxy在有界区域内二阶连续可微，在上连续且有连续的一阶偏导数，则当点000()Pxy时有0211111()lnlnln22uuPudludrnnrr(1.11)其中dl表示上的线元素,d是上的面积元素.1.3.调和函数的基本性质性质6.1设()uxyz是有界区域内的调和函数,且在上有连续的一阶偏导数,则130.udSn(1.12)证利用第二Green公式,在(1.5)中取1vu,取为所给的调和函数,由此性质可得出,Laplace方程的第二边就可得到(1.12).值问题30().uxyzun有解的必要条件是函数满足0.dS性质6.2设()uxyz是有界区域内的调和函数,且在闭区域上有连续的一阶偏导数,则在内的任一点0000()Pxyz处有140111()()4uuPudSrnnr(1.13)证利用基本积分公式(1.9)即得.类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到0111()ln(ln)2uuPudlrnnr(1.14)其中是平面上有界区域的边界.性质6.3(平均值定理)设()uxyz是区域内的调和函数,0000()Pxyz是内的任一点以,0P为心R为半径作球RK只要球RK连同其边界R包含在内,则有公式021()4RuPudSR(1.15)15证将公式(1.13)应用于球面R上,得到0111()()4RuuPudSrnnr这里rR,故由性质6.1知上式右端第一项的积分值为零,在球面上的外法线方向与半径的方向一致,于是又因为2111()()RRnrrrR所以有021()4RuPudSR我们把调和函数的这一性质称为平均值定理,公式(1.15)16称为平均值公式,即调和函数在球心处的值等于它在球面上的平均值.注1对区域内的下调和(上调和)函数u,我们有002211()()44RRuPudSuPudSRR(1.17)性质6.4(强极值原理)假设不恒为常数的函数()uxyz在有界区域,内调和且在上连续,则它在上的最大值和最小值只能在的边界上达到.证用反证法.假设调和函数()uxyz在上的最大值不在上达到,那么它必在内的某一点0000()Pxyz达到,记0()uPM当然M也是u在上的最大值.17以0P为心R为半径作球RK使RK完全包含于内,记RK的球面为RS,可以证明,在RS上有uM事实上,若函数u在RSMRS上某一点的值小于,则由连续性知,上必可找到此在球面点的一个充分小的邻域,在此邻域内有uM,于是在RS上成立不等式221144RRSSudSMdSMRR但由平均值公式(1.15),有021()4RSudSuPMR这就发生了矛盾.所以在球面RS上,必须有uM18同理可证,在任一以0P为心,()R为半径的球面S上,也有uM.因此,在整个球RK上,有()uxyzM下面证明对内的所有点,都有uM.为此在内任取一点()Pxyz,由于是区域,所以可用完全位于l0PP内的折线将点和连结起来,ld设与边界的最短距离为,于是函数u0P2dR1RKK在以为心为半径的球上,Ml1K1S恒等于,若与球的球面相交于1P点,显然,在以1P为心2d为半径的球2K上,有uM照此作下去,可用有限个球.12nKKK将折线l完全覆盖,而且19使nPK,因为在每个球上都有uM,所以()uPM由点P的任意性,就可得到在整个区域上,有()uxyzM这和函数u在上不恒等于常数的假设相矛盾.因此u不能在的内部取得它的最大值.对于最小值的情形,由u的最小值就是u的最大值,而u也是调和函数,从而推得函数u也不能在的内部取得它的最小值.定理证毕.推论6.1(调和函数的比较原理)设u和v都是有界区域内的调和函数,且在的边界上连续,如果在上有不等式20uvuvuv,则在内亦有.并且只有在上时,在内才会有等号成立的可能.对于二维调和函数()uxy,类似的极值原理成立.注2(下(上)调和函数的强最大(小)值原理)设不恒为常数的函数u是内的下(上)调和函数,则它在上的最大(小)值的边界上达到.只能在证明留给读者自己完成.21