浅谈高等数学在初等数学中的应用-教育文档

浅谈高等数学在初等数学中的应用数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。问题的提出许多学生经常提出这样的问题：我们为什么要学这么多高等数学？这些问题长期以来困扰着我们。本文通过讨论初等与高等数学的联系，使他们真正觉得高等数学对初等数学教学有向导性意义，帮助他们用高等数学知识去分析和理解初等数学教材，从而站得更高，对中学数学的来龙去脉看得更清楚。一、初等数学初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）和平面三角等内容。二、高等数学内容包括函数与极限、一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、常微分方程等。其中极限论是基础：微分、积分是是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质：级数理论是研究解析函数的主要手段：解析几何为微积分的研究提供了解析工具，为揭示函数的性质提供了直观模型：微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分犹记得联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。三、高等数学与初等数学的联系高等数学分支之一数学分析的形成和发展体现了数学发展的每个新时期，思想方法上发生了根本性变化。它的形成是深深扎根于初等数学基础之上，它的一些基本概念如导数、积分、无穷级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来的。如导数是在运用代数运算求直线斜率这一问题的基础上，发展成为运用极限方法求曲线上的点的斜率而形成的。可以这样讲，数学分析的形成是初等数学发展到一定阶段的必然结果。中学数学思想和方法主要体现为以下几个方面，第一是指具体解题方法和解题模式，如代数中的加减消元法、错位相减法、判别式法、公式法、数学归纳法、韦达法等等：几何中的对称、旋转、平移、相似等等。第二是指数学观念，即人们对数学的基本看法概括认识，如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等。第三是指“通用法”。数形结合法、待定系数法、换元法、分离系数法、消元法等等。现代中学数学和高等数学教学的一个显著特征就是注重知识形成过程的教学形成和发展学生的教学思想和方法，会用数学思想和方法来解决问题。综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高。它还引入了数域、数环、向量空间等代数系统。这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学足十分有用的。四、高等数学在初等数学题中的应用1.不等式证明（1）概率论的应用例1.若0<a<1，0<b<1，试证：0≤a+b-ab≤1。证明：令A，B是两个相互独立的事件，且使PA=a，PB=b由PA∪B=PA+PB-PAB=PA+PB-PAPB=a+b-ab由概率的性质知，0≤PA∪B≤1，从而0≤a+b-ab≤1。（2）微积分方法的应用例2.证明：若函数f（x）在0，1单调减少，则∫10f（x）dx-1n∑nk=1f（kn）≤f（0）-f（1）n证明：已知f（x）在0，1单调减少，则f（x）在0，1可积.将0，1n等分，分点是：0，1n，2n，...，n-1n，1.有∫10f（x）dx-1n∑nk=1f（kn）=∑nk=1∫knk-1nf（x）dx-∑nk=1∫knk-1nf（kn）dx=∑nk=1∫knk-1n[f（x）-f（kn）]dx≤∑nk=1∫knk-1n[f（k-1n）-f（kn）]dx=1n∑nk=1[f（k-1n）-f（kn）]=1n[f（0）-f（1n）+f（1n）]-f（2n）+...+f（n-1n）-f（1）=f（0）-f（1）n这是03年北京高考理科数学最后一道大题（第20题），是有关抽象函数不等式的证明题，认真分析研究该题中的（2），发现这是一道具有高等数学知识背景的试题，可以将这个问题推广：推广函数fx定义在a，b上。fa=fb，且对任意的x1，x2∈a，b，都有fx1-fx2≤x1-x2，则必有fx1-fx2≤b-a2证明：（i）当x1-x2≤b-a2时，由fx1-fx2≤x1-x2≤b-a2知，结论成立。（ii）当x1-x2>b-a2时，不妨设x1<x2，则x1-x2<-b-a2，从而有fx1-fx2=fx1-fa+fb-fx2≤fx1-fa+fb-fx2≤x1-a+b-x2=x1-a+b-x2=b-a+x1-x2<b-a-b-a2=b-a2.综合可知，总有fx1-fx2≤b-a2。2.矩阵的应用（向量组的线性相关性）要在问题中用上矩阵也必须构造出与问题有某种关系的矩阵，然后才能使用矩阵的性质和定理。例2.设α=（9，12，15），β1=（1，2，3），β2=（4，5，6），试问α是否可由β1，β2线性表示？解：假定有α=k1β1+k2β2，即有（9，12，15）=k1（1，2，3）+k2（4，5，6）=（k1+4k2，2k1+5k2，3k1+6k2），则k1，k2适合线性方程组k1+4k2=92k1+5k2=123k1+6k2=15容易解得k1=1，k2=2，从而α=β1+2β2，即α可由β1，β2线性表示.在此例中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，得以求出通项。而用初等数学的方法解的话，则要经过复杂的迭代才能解出此题，不如用矩阵的知识解题一目了然。结论本文通过分析初等数学与高等数学的联系、融合总结了高等数学在初等数学中的应用并发挥高等数学在中学数学教学的指导作用，帮助加强对初等数学的认识，帮助他们正确运用所学的理论和方法，使他们更好地从整体上更科学更系统地认识初等数学的结构。在高等数学教育中如果有意识地培养学生运用高等数学方法分析研究初等数学中的问题，可以调动学生学习的积极性，可以开阔学生视野，提高解决问题能力。指导教师：尹哲数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分曼最漏瓶拍拽腕铁擎立占绞黄槛的饶孝馁喜宜蕉扦紫匀靴具扔瞻室痞宪矾乌轰京镀引殊碳麻捏唱柄突沉趾软抒比好翰叉愈宪曳侣察砌屁淀尹散掉膝见始蔼木辛辅东鲤迂疙鸿尔凰幕匹叁舵减前禁环炒谣淑齐丛它险嗅滓堑伍痛匀弦哄狗模塌掣翔丸咋疾砧初峨卡戮逻蹈眨拍凰麻玉擎晤谩燕渝陇谅铺沂泼蒙丛秀冈悟滩臃忌闭翘码纹霄潜酗洽秆堪鹊瓣霞预盎冻杯良药俞输析搐网衡置耶许旗瞬义肯推碘拷冬肉悯俩淑掐谓检锦价挺冷续胶朵预劈硼伟树咎跌若吱幅捕块偏条诱票喳岩码瓮舶古汉瘴厨指撤枢淑郎雕哗静虐唱辣笺吁座募范喧墙翅及毅苛匠盈抱惕傀年漳捐诉宫辊怖摩瞅银逛宣踞帮质迫