高中数学试题及答案

、一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则(A)PQ(B)QP(C)RCPQ(D)QRCP(2)已知i是虚数单位，则12i1i＝(A)3i2(B)3+i2(C)3－i(D)3＋i(3)若某程序框图如图所示，则输出的p的值是(A)21(B)26(C)30(D)55(4)若a，b都是实数，则“a－b＞0”是“a2－b2＞0”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线(A)只有一条，不在平面α内(B)有无数条，不一定在平面α内(C)只有一条，且在平面α内(D)有无数条，一定在平面α内(6)若实数x，y满足不等式组240,230,0,xyxyxy则x＋y的最小值是(A)43(B)3(C)4(D)6(7)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a1＋a3＋a5＝(A)122(B)123(C)243(D)244(8)袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是(A)914(B)3756(C)3956(D)57(9)如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则AO·BC的值是(A)－8(B)－1(C)1(D)8(10)如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．记集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，3，4，5，6}．若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称(A，B)为一个“有序集合对”(当A≠B时，(A，B)和(B，A)为不同的有序集合对)，那么M中“有序集合对”(A，B)的个数是(A)50(B)54(C)58(D)60二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。(11)若函数f(x)＝21x，则f(x)的定义域是．(12)若sinα＋cosα＝12，则sin2α＝．(13)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是cm3．(14)设随机变量X的分布列如下：X051020P0.1αβ0.2若数学期望E(X)＝10，则方差D(X)＝．(15)设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－SnSn－1(n≥2)，则Sn＝．(16)若点P在曲线C1：221169xy上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是．(17)已知圆心角为120°的扇形AOB半径为1，C为AB中点．点D，E分别在半径OA，OB上．若CD2＋CE2＋DE2＝52，则OD＋OE的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(18)(本题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan(A＋B)＝2．(Ⅰ)求sinC的值；(Ⅱ)当a＝1，c＝5时，求b的值．(19)(本题满分14分)设等差数列{an}的首项a1为a，前n项和为Sn．(Ⅰ)若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)证明：n∈N*,Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．(20)(本题满分15分)四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足PFPB＝CGCE＝λ∈(0，1)．(Ⅰ)求证：FG∥平面PDC；(Ⅱ)求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值为23．(21)(本题满分15分)如图，椭圆C:x2＋3y2＝3b2(b＞0).(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且|AB|＝3，求△AOB面积的最大值.(22)(本题满分14分)设函数f(x)＝lnx＋1ax在(0，1e)内有极值．(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)若x1∈(0，1)，x2∈(1，＋)．求证：f(x2)－f(x1)＞e＋2－1e．注：e是自然对数的底数．台州中学2011学年高三第一学期第三次统练理科数学答案二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。三、解答题：本大题共5小题，共72分。(18)(Ⅰ)解：由题设得tanC＝－2，从而sinC＝255．………6分(Ⅱ)解：由正弦定理及sinC＝255得sinA＝25，再由正弦定理b＝sinsinBcC＝10555．…………14分(19)(Ⅰ)解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na＋(1)2nnd，(2)当d＝2a时，an＝(2n－1)a．…………6分(Ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，Sm，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，即212mmmSSS．因此a2＋mad＋12m(m＋1)d2＝0，①综上所述，对任意正整数n，Sn，Sn＋1，Sn＋2都不构成等比数列．…………14分(20)方法一：(Ⅰ)证明：如图以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，其中K为BC的中点，不妨设PA＝2，则(0,0,0)A，(0,0,2)P，(3,1,0)B，(3,1,0)C，(0,2,0)E，(0,4,0)D．由PFCGPBCE，得(3,,22)F，(33,1,0)G，(233,12,22)FG，设平面PCD的法向量0n=(x，y，z)，则00nPC，00nPD，得320,0420,xyzxyz可取0n=(3，1，2)，于是设平面FCD的法向量1111(,,)nxyz，则10nFC，10nCD，所以281450，解得12或54(舍去)，故12．…………15分方法二：(Ⅰ)证明：延长BG交CD于Q，连PQ，BE．得平行四边形BEDC，则BE//CQ，ABCPE（第20题）DGFQMN所以::CGGEQGGB．又::PFFBCGGE，则::QGGBPFFB，所以FG//PQ．则FNCD，FNM为二面角FCDG的平面角．1FMFBPAPB，不妨设2PA，则2(1)FMBM，2MN，由tanFMFNMMN得22(1)32，即12．…………15分(21)(Ⅰ)解：由x2＋3y2＝3b2得222213xybb，(Ⅱ)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面积为S．如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为(32，32)，此时S＝13322＝34；即(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，又Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)＞0，所以x1＋x2＝－2613kmk，x1x2＝223313mk，结合①，②得m2＝(1＋3k2)－222(13)4(1)kk．又原点O到直线AB的距离为2||1mk，＝－316(22131kk－2)2＋34≤34，故S≤32．当且仅当22131kk＝2，即k＝±1时上式取等号．又32＞34，故Smax＝32．…………15分由()0fx在1(0,)e内有解．令2()(2)1()()gxxaxxx，不妨设10e，则e，所以(0)10g，2112()10eeeag，解得1e2ea．…………6分由1(0,1)x，得1()()ln1afxf，由2(1,)x得2()()ln1afxf,记1()2lnh，(e)，则221()10h，()h在(０，＋∞)上单调递增，所以21()()fxfx1()(e)2eehh．…………14分