二次函数专题竞赛讲

1初中数学竞赛二次函数专题【一、求二次函数的解析式，各项系数及相关代数式的值】例1二次函数2yaxbxc，当12x时，有最大值25，而方程20axbxc的两根、，满足3319，求a、b、c。例2（07年全国联赛）nm,为正整数，且2m，二次函数mtxmtxy3)3(2的图象与x轴的两个交点间的距离为1d，二次函数ntxntxy2)2(2的图象与x轴的两个交点间的距离为2d.如果21dd对一切实数t恒成立，求nm,的值.1、（2011全国竞赛乙卷）已知对任意的实数x，二次函数y=ax2+bx+c满足x2+2x+2≤y≤2x2+4x+3，且当x=9时，y=121．求a+b+c的值．2、证明：无论a取任何实数值时，抛物线211(1)24yxaxa是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上。【二、二次函数根的分步及整数解问题】例3、（2003年全国联赛）设m是整数且方程3x2+mx-2=0的两根都大于59-而小于73，则m=例4、（05年全国联赛）a、b、c为实数，ac＜0，且2a+3b+5c=0，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于34而小于1的根.例5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数，并且f(19)=f(99)=1999，|c|1000，则c=．例6、（2007年全国联赛）设a是正整数，二次函数2(17)38yxaxa，反比例函数56yx，如果两个函数图像的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值.2例7、（2010年全国联赛）已知二次函数2yxbxc的图象经过两点P(1,)a，Q(2,10)a.（1）如果,,abc都是整数，且8cba，求,,abc的值.（2）设二次函数2yxbxc的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C.如果关于x的方程20xbxc的两个根都是整数，求△ABC的面积.3、（2013希望杯）若关于x的二次函数221yxmx的图像与端点在（-1,1）和（3,4）点线段只有一个交点，则m的取值范围是__________．【三、二次函数与几何结合的综合问题】例8、（2013全国竞赛甲）如图，抛物线y23axbx，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113yx与y轴交于点D．求∠DBC∠CBE．例9、（2011全国竞赛甲卷）．如图，已知A为y轴正半轴上一点，点A、B关于x轴对称，过A任作直线与抛物线223yx交于P、Q两点．（1）求证：∠ABP=∠ABQ；（2）若点A(0，1)，且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线PQ的解析式．3例11、（2003年全国联赛）抛物线2yaxbxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=__________．例12、（2010全国竞赛）．如图，抛物线2yaxbx（a0）与双曲线kyx相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.4、（2010年全国联赛）二次函数cbxxy2的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知ACAB3，30CAO，则c．5、（2011年全国联赛）二次函数cbxxy2的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则cb2．6、（2012年全国竞赛乙卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=．CD与y轴交于点E，且S△COE=S△ADE.已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.例13、（2012年全国联赛A卷）已知抛物线216yxbxc的顶点为P，与x轴的正半轴交于A1(,0)x、B2(,0)x（12xx）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M3(0,)2，若AM//BC，求抛物线的解析式.47．如图，抛物线223yxx与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．8、（2012年全国联赛C卷）已知抛物线216yxbxc的顶点为P，与x轴的正半轴交于A1(,0)x、B2(,0)x（12xx）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移24(31)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.求抛物线的解析式.【四、二次函数最值问题】例14已知二次函数22962yxaxaa11()33x有最大值－3，求实数a的值。例15、（2013年全国联赛初赛）已知二次函数cbxaxy2和一次函数bxy，其中a、b、c满足cba，0cba．Rcba，，．（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A、B；（2）过（1）中的两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为1A、1B．求线段11BA的长的取值范围.9、求函数243yxx在区间25x中的最大值和最小值。10、求分式22365112xxxx＋的最小值A