代数系统练习题

填空题：1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点A,*中，单位元是()，零元是()。答：2，62、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点A,*中，单位元是()，零元是()；答：9，33、设a是12阶群的生成元，则a2是()阶元素，a3是()阶元素。答：6,44、群G,*的幂等元是()，有()个。答：单位元，15、设a是10阶群的生成元，则a4是()阶元素，a3是()阶元素。答：5，106、素数阶群一定是()群,它的生成元是()。答：循环群，任一非单位元7、H,,是G,,的子群的充分必要条件是()。答：H,,是群或a，bG，abH，a-1H或a,bG，ab-1H8、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是()。答：k9、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1)a*b=a-b(2)a*b=max{a,b}(3)a*b=a+2b(4)a*b=|a-b|答：(2)10、设G是所有3位二进制数构成的集合，关于异或运算，G中的幺元是（），011的逆元是（）。答：000，01111、10阶群的子群的阶数只可能是（）。答：1,2,5,1012、设G是群，a∈G，若|a|=12，则|a9|=（）。答：413、设A是集合，P(A)是A的幂集，则代数系统P(A)，中幺元是（）；对任意T∈P(A)，T的逆元是（）。答：∅,T二、选择题1、在N上定义几个二元运算，其中不满足结合律的是（）。A.a*b=aB.a*b=a+b-5C.a*b=a+3bD.a*b=max{a，b}答：C2.下面4个代数系统中构成群的是（）。A.N，+B.{R，×}C.P(A)，UD.AA，答：B3．Z13，13是群，下面子集中（）不是它的子群。A.{1，2，4，8}B.{1，12}C.{1，3，9}D.{1，5，8，12}答：A.4.下面集合关于相应的加法和乘法运算构成域的是（）。A.{a+b33|a，b∈Z}B.{a+bi|a，b∈Q}C.{a+b2|a，b∈Z}D.{ｃ　ｄａ　ｂ|a，b，c，d∈Z}答：B.5.下面关于循环群性质的描述，错误的是（）。A.循环群必是交换群B.循环群的子群仍然是循环群C.设G是n阶循环群，a∈G，则a是生成元当且仅当a的阶数是nD．循环群的生成元一定是唯一的答：D.6.设G是群，e是幺元，a，b，c∈G，则下面关于群的性质描述错误的是（）。A.若ab=b，则必有a=eB.若b≠c，有可能ab=acC.G有唯一的幂等元D．aG=Ga答：B.7、6阶有限群的任何子群一定不是（）。A.2阶B.3阶C.4阶D.6阶答：C.证明题：1、求循环群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。解：因为|C12|=12，|H|=3，所以H的不同右陪集有4个：H，{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。2、求下列置换的运算：解：（1）1433422114233241=12343124（2）3163564235241=1635642352412163564235241=163564235241462514533261=6655443322115、试求出8阶循环群G=a的所有生成元和所有子群。解：设G是8阶循环群，a是它的生成元。则G={e,a,a2,..,a7}。由于ak是G的生成元的充分必要条件是k与8互素，故a,a3,a5,a7是G的所有生成元。因为循环群的子群也是循环群，且子群的阶数是G的阶数的因子，故G的子群只能是1阶的、2阶的、4阶的或8阶的1阶子群：{e}2阶子群：{e,a4}4阶子群：{e,a2,a4,a6}8阶子群：G={e,a,a2,..,a7}6、设G,·是群，aG。令H={xG|a·x=x·a}。试证：H是G的子群。证明：c，dH，c·a=a·c,d·a=a·d。故(c·d)·a=c·(d·a)=c·(a·d)=(c·a)·d=(a·c)·d=a·(c·d)。从而c·dH。由于c·a=a·c,且满足消去律，所以a·c-1=c-1·a。故c-1H。从而H是G的子群。7、设G={1，3，5，7}，关于模8乘法运算，列出运算表，说明G构成群。8、证明：有限群中阶大于2的元素的个数一定是偶数。证明：设G,·是有限群，则aG，有|a|=|a-1|。且当a阶大于2时，aa-1。故阶数大于2的元素成对出现，从而其个数必为偶数。9、证明：偶数阶群中阶为2的元素的个数一定是奇数。证明：设G,·是偶数阶群，则由于群的元素中阶为1的只有一个单位元，阶大于2的元素是偶数个，剩下的元素中都是阶为2的元素。故偶数阶群中阶为2的元素一定是奇数个。10、试求Z6,⊕6中每个元素的阶。解：0是Z6,⊕6中关于⊕6的单位元。则|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。11、Z上的二元运算*定义为：a,bZ，a*b=a+b-2。试证：Z,*为群。证明：（1）a,b,cI，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4,a*(b*c)=a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。故(a*b)*c=a*(b*c)，从而*满足结合律。（2）记e=2。对aI，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是I关于运算*的单位元。（3）对aI，因为a*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a是a关于运算*的逆元。综上所述，I,*为群。12、设S,·为半群，aS。令Sa={ai|iZ+}。试证Sa,·是S,·的子半群。证明：b，cSa，则存在k,lI+，使得b=ak,c=al。从而b·c=ak·al=ak+l。因为k+lI+，所以b·cSa，即Sa关于运算·封闭。故Sa,·是S,·的子半群。13、证明在元素不少于两个的群中不存在零元。证明：（用反证法证明）设在素不少于两个的群G,中存在零元。对aG,由零元的定义有a*=。G,是群，关于*消去律成立。a=e。即G中只有一个元素，这与|G|2矛盾。故在元素不少于两个的群中不存在零元。14、证明在一个群中单位元是惟一的。证明：设e1,e2都是群〈G,*〉的单位元。则e1=e1*e2=e2。所以单位元是惟一的。15、设a是一个群〈G，*〉的生成元，则a-1也是它的生成元。证明：xG，因为a是〈G，*〉的生成元，所以存在整数k，使得x=ak。故x=((ak)1)1=((a1)k)1=(a1)k。从而a-1也是〈G，*〉的生成元。17、代数系统G,*是一个群，则G除单位元以外无其它幂等元。证明：设e是该群的单位元。若a是G,*的等幂元，即a*a=a。因为a*e=a，所以a*a=a*e。由于运算*满足消去律，所以a=e。即G除单位元以外无其它等幂元。19、设半群S,·中消去律成立，则S,·是可交换半群当且仅当a,bS，（a·b）2=a2·b2。证明：a,bS，（a·b）2=(a·b)·(a·b)=((a·b)·a)·b=(a·(a·b))·b=((a·a)·b)·b=(a·a)·(b·b)=a2·b2;a,bS，因为（a·b）2=a2·b2，所以(a·b)·(a·b)=(a·a)·(b·b)。故a·((b·a)·b)=a·(a·(b·b))。由于·满足消去律，所以(b·a)·b=a·(b·b)，即(b·a)·b=(a·b)·b。从而a·b=b·a。故·满足交换律。20、设群G,＊除单位元外每个元素的阶均为2，则G,＊是交换群。证明：对任一aG，由已知可得a*a=e，即a-1=a。对任一a,bG，因为a*b=(a*b)-1=b-1*a-1=b*a，所以运算*满足交换律。从而＜G,*＞是交换群。21、设H和K都是G的子群。证明：HK也是G的子群。证明：因为H和K都是G的不变子群，所以HK是G的子群。对aG，hHK，有a·h·a-1a·H·a-1，·h·a-1a·K·a-1。因为H和K都是G的不变子群，所以a·h·a-1H且a·h·a-1K。从而a·h·a-1HK。故HK是G的不变子群。22、设群G的中心为C（G）={aG|xG,a·x=x·a}。证明C（G）是G的子群。证明：先证C（G）是G的子群。a,bC（G），对xG,有a·x=x·a，b·x=x·b。故（a·b）·x=a·(b·x)=a·(x·b)=(a·x)·b=(x·a)·b=x·(a·b),a-1·x=x·a-1。从而a·b，a-1C（G）。故C（G）是G的子群。23、设G,·是没有非平凡子群的有限群。试证：G是平凡群或质数阶的循环群。证明：若G是平凡群，则结论显然成立。否则设G,·的阶为n。任取aG且ae,记H=（a）(由a生成的G的子群)。显然H{e}，且G没有非平凡子群，故H=G。从而G一定是循环群，且a是G的生成元。若n是合数，则存在大于1的整数k,m，使得n=mk。记H={e,ak,(ak)2,…,(ak)m-1}，易证H是G的子群，但1|H|=mn，故H是G的非平凡子群。这与已知矛盾。从而n是质数。故G是质数阶的循环群。综上所述，G是平凡群或质数阶的循环群。24、设H和K都是G的有限子群，且|H|与|K|互质。试证：HK={e}。证明：用反证法证明。若HK{e}。则HK是一个元素个数大于1的有限集。先证HK也是G的子群，从而也是H和K的子群。a,bHK,则a,bH且a,bK。因为H和K都是G的子群，故a·b,a-1H且a·b,a-1K。从而a·bHK,a-1HK。故HK是G的子群，从而也是H和K的子群。由拉格朗日定理可知，|HK|是|H|和|K|的因子，这与已知矛盾。25、素数阶循环群的每个非单位元都是生成元。证明：设G,*是p阶循环群，p是素数。对G中任一非单位元a。设a的阶为k,则k1。由拉格朗日定理，k是p的正整因子。因为p是素数，故k=p。即a的阶就是p，即群G的阶。故a是G的生成元。26、设G,是有限群，|G|＝n，则a∈G，|a|n。证明：aG，由封闭性及|G|=n可知a,a2,…,an,an+1中必有相同的元素，不妨设为ak=am,km。由消去律得am-k=e。从而|a|m-kn。27、有限群G的每个元素的阶均能整除G的阶。证明：设|G|=n，aG，则|a|=m。令H={e,a,a2,…,am-1}。则H是G的子群且|H|=m。由Lagrange定理知|H|能整除|G|，故a的阶能整除G的阶。28、在一个群G,*中，若G中的元素a的阶是k，即|a|=k，则a-1的阶也是k。证明：因为|a|=k，所以ak=e。即（a-1）k=(ak)-1=e。从而a-1的阶是有限的，且|a-1|k。同理可证，a的阶小于等于|a-1|。故a-1的阶也是k。29、设e是奇数阶交换群G,*的单位元，则G的所有元素之积为e。证明：设G={e,a1,a2,…,an2},*，n为正整数。因为G的阶数为奇数2n+1，所以由拉格朗日定理知G中不存在2阶元素，即除了单位元e以外，G的所有元素的阶都大于2。故对G中的任一非单位元a，它的逆元a1不是它本身，且G中不同的元素有不同的逆元。由此可见，G中的2n个非单位元构成互为逆元的n对元素。因为G是交换群，故G的所有元素之积可变成单位元和n对互为逆元的元素之积的积，从而结果为e。30、设S=QQ，Q为有理