偏微分课程课件4-双曲型方程的差分方法(I)

1第三章双曲型方程定解问题的有限差分法3.1一阶线性常系数双曲型方程3.2一阶线性常系数双曲型方程组3.3变系数双曲型方程及方程组2u定义在xt平面上的一个区域内.(一)一阶线性常系数双曲型方程下面考察方程解u在定义域内直线x=at+C上的变化规律.(,)((),)uuxtuxttduudxudtxdttuuaxt0解u在直线x=at+C上的解等于常数.00,,0(,0)(x),.uuaxRttxuxuxR3解u在直线x=at+C上的等于常数任意在xt平面上方程定义域内取点在此点做特征线x=at+C,那么特征线与t=0交于点00(,).xt--------特征线00(,0).xat0000000(,)(,0)().uxtuxatuxat由点00(,)xt任意性,可知0(,)().uxtuxat解u在直线x=at+C上的解等于常数.00Cxat4txOcatx),(00tx)0,(00atx对于定解问题RxxgxuatRxxuatu)()0,(0,0,0方程的解为(,)(,0)()uxtuxatgxat见10页511110,0,0,0.nnnnjjjjnnnnjjjjuuuuaahuuuuaah1.迎风格式关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商来代替。0a1jj1jn1n0a1jj1jn1n61100nnnnjjjjuuuuaah11()nnnnjjjjnnikjhjuuauuuve取(,)1(1)1(1cos)i(sin)ikhGkaeakhakh722222222422222|(,)|[1(1cos)]sin(14sin4sin)4sin(1sin)222214(1)sin2Gkakhakhkhkhkhkhaaakhaa(,)1(1)1(1cos)i(sin)ikhGkaeakhakh条件稳定条件满足1,|(,)|1,VonNeumannaGk0?a81100,nnnnjjjjuuuuaah条件稳定10a1((1))nikhnvaaev0,||1|(,)|1.aaGk222222|(,)|(1cos)sin=1+4(1+)sin2Gkaakhakhkhaa0?a9绝对不稳定110:0,nnnnjjjjuuuuaah课堂练习证明：1100,nnnnjjjjuuuuaah：差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。110:0,nnnnjjjjuuuuaah110:0nnnnjjjjuuuuaah100a1jj1jn1n0a1jj1jn1n1111111(||)()(||)(),22nnnnnnjjjjjjuuaauuaauu1111111()||(2).22nnnnnnnjjjjjjjuuauuauuu迎风格式统一形式110:0,nnnnjjjjuuuuaah110:0nnnnjjjjuuuuaah1211-10211(,)(,)(,)nnnnjjjjjntjnoxjnuuuuahTxtuxtauxth中心差分格式2Lax-Friedrichs格式22323(,)(,)26,,(,).jnnnjjuahuxttxttxhxh其中（）2322311(,)(,)26njnjuuuuaxahttxtx2(,)()jnTxtOh13(,)1()1i(sin)2ikhikhaGkeeakh改进：绝对不稳定sin0|(,)|1khGk时11-102nnnnjjjjuuuuah中心差分格式111111()202nnnnnjjjjjuuuuuah2222|(,)|1sinGkakhLax-Friedrichs格式1411111221()202(,)()()nnnnnjjjjjuuuuuahhTxtOhO222222221(,)()()22cossin,|(,)|cossin1(1)sin1.||1ikhikhikhikhaGkeeeekhiakhGkkhakhakhannikjhjuve取11()()22nikhikhikhikhnaveeeev则稳定15Lax-Friedrichs格式可以不考虑特征线走向，但截断误差比迎风格式的截断误差大。163.Lax-Wendroff格式（2阶精度）22312(,)(,)().2nnjnjnjjuuuxtuxtOtt2112211221(,)(,)(),21(,)2(,)(,)()njnjnjnjnjnjnjuuxtuxtOhxhuuxtuxtuxtOhxh22222,,uuuuuaaatxttxx222312(,)(,)().2nnjnjnjjuauuxtuxtaOxx1722111112(2)22nnnnnnnjjjjjjjaauuuuuuuhh22(,)()TxtOh22222224(,)1(cos1)isin|(,)|14(1)sin2GkakhakhkhGkaa|(,)|1||1Gka18左偏心格式110nnnnjjjjuuuuahP点数值解依赖于DC内节点上的函数值---依赖区域(,)jk4.Courant-Friedrichs-Lewy条件（C.F.L.条件）xt(,)jk(,)jkxt(,0)jkDx(,0)jCxP19P点数值解依赖于DC内节点上的函数值---依赖区域点微分方程解依赖区域差分方程的依赖区域端点构成的区间DC内,否则没有关系。即差分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域。P'DC.F.L.条件,xtPjnjD'DCn应在(,)njjnuuxt与20.h其中jnjnjxxatxjhnhjhanjhPD'DCn001aa0ajhanjh不收敛'D21微分方程解的依赖区域不属于差分方程解的依赖区域右偏心格式C.F.L.条件jjnjnxxatxjhjhanjhnh010aa：　110nnnnjjjjuuuuah0:ajhanjh不收敛22Lax-Wendroff格式的C.F.L条件jnjnjnxxatxjhnhjhanjhnhnhannh||1,.ah其中23C.F.L.条件差分格式的依赖区域包含微分方程的依赖区域C.F.L.条件是格式收敛的必要条件.241Lax-Wendroff（）格式：22(,)1(cos-1)-isin|(,)|1||1GkakhakhGkaLaxC.F.L.由等价定理，条件是收敛充分条件。C.F.L.||1a条件也是稳定性条件25111202nnnnjjjjuuuuah（）中心差分格式，不稳定，||1a，C.F.L.条件下不收敛（非充分条件）C.F.L.条件仍为(,)1()21i(sin)ikhikhaGkeeakh2222|(,)|1sinGkakh，sin0,|(,)|1khGk课堂练习1.试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏心格式、中心差分格式的C.F.L.条件。右偏心格式C.F.L.条件0100:jjnjnaxxatxaajhanjh：　不收敛0a1jj1jn1n27001jnjnjaxxatxa左偏心格式C.F.L.条件0ajhanjh不收敛0a1jj1jn1n285.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式11111)(kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL（两点式），29))(())(()(111112kkkkkkkxxxxxxxxyxL))(())((1111kkkkkkkxxxxxxxxy.))(())((11111kkkkkkkxxxxxxxxy30PBDC111:(,)((1),):(,)(,):(,)((1),):(,)(,(1))jnjnjnjnBxtjhnCxtjhnDxtjhnPxtjhn设B,C,D处的值已知，下面来确定点P处的值u(P)-,-(1),BCQ(-,)xatCCjhanjhan（）与相交于PBCDQ1.由B、C线性插值求u(Q):2.由B、D线性插值求u(Q):3.由B、C、D二次插值求u(Q):过P做特征线()(Q)uPu0a时的迎风格式Lax-Wendroff格式A4.由A、B、C二次插值求u(Q):Beam-Warming格式Lax-Fridriches格式32B，C点插值PBCD11111()kkkkkkkkxxxxLxyyxxxxQ()()()()xxxxxxxxCQQBuPuQuBuCCBCB(-,)Qjhan1111(1)(1)()nnnjjjnnjjnnnjjjjhjhajhajhuuuhhauauuauu0a时的迎风格式33B，D点插值PBCD11111()(-,)()()()()kkkkkkkkxxxxxxxxxxxxLxyyxxxxQjhanDQQBuPuQuBuDDBDBQ111111111(1)(1)2211(1)(1)2211()()22nnnjjjnnjjnnnnjjjjjhjhajhajhuuuhhauauuuauuLaxFriedrichs格式34B，C,D点插值))(())(()(111112kkkkkkkxxxxxxxxyxL))(())((1111kkkkkkkxxxxxxxxy.))(())((11111kkkkkkkxxxxxxxxy35))(())(()()(2xxxxxxxxDBCBDQCQBuxL))(())(()(xxxxxxxxDCBCDQBQCu.))(())(()(xxxxxxxxCDBDCQBQDu22111112(2)22nnnnnnnjjjjjjjaauuuuuuuhhLax-Wendroff格式36PBCAQA,B,C三点做抛物插值，可得Q点函数值，即Beam-Warming格式（二阶迎风格式，1976）111211210:()(1)220:()(1)22nnnnnnnjjjjjjjnnnnnnnjjjjjjjaauuauuauuuaauuauuauuu||2a稳定性条件：376.蛙跳格式111-1022