余弦函数的图像与性质

§6余弦函数的图像与性质yxo--1234-2-31223252722325因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图像在…与y=sinx,x∈[0,2π]的图像相同2,4,0,2,,2,0,4,2sin,Ryxx的图像正弦函数由能得到余弦函数的图像吗？)cos2sin(xx1.会用“图像变换法”和“五点法”作余弦函数的图像.（重点）2.掌握余弦函数y=cosx的图像和性质.（重点）3.会应用余弦函数y=cosx的图像与性质解决一些简单问题.（难点）探究点1余弦函数y=cosx(x∈R)的图像思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？ycosxπsin(x)2注：余弦曲线的图像可以通过将正弦曲线向左平移个单位长度而得到.余弦函数的图像叫作余弦曲线.π2根据诱导公式，可得:x6yo--12345-2-3-41余弦函数的图像正弦函数的图像x6yo--12345-2-3-41y=cosx=sin(x+),xR2余弦曲线正弦曲线形状完全一样，只是位置不同方法：利用图像平移最高点：最低点：与x轴的交点：(0,1)，3(,0)2(2,1)(,1)(,0)2，在函数的图像上，起关键作用的点有：cos,[0,2]yxx五点法作图探究点2余弦函数的性质-1-oxy--1-3232656734233561126余弦曲线：y=cosx,x∈R思考1：观察图中所示的余弦曲线，说出它们的图像的对称性？提示：由图像可以看出，关于y轴对称.奇偶性：关于y轴对称思考2：如何判断三角函数的奇偶性？提示：(1)利用图像法：若图像关于原点对称，则函数为奇函数；若图像关于y轴对称，则函数为偶函数.(2)根据奇偶性的定义判断：若对定义域内的任意x都有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若对定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则函数为奇函数.对称轴方程x=k(k∈Z)对称中心为(k+,0)(k∈Z)函数y=cosx的对称性π2由于正、余弦曲线无限延伸，对称轴、对称中心有无限多个.yxo--1234-2-31223252722325cosyx定义域周期奇偶性函数性质RRmaxminπx2kπkZy12πx2kπkZy12当，时，当，时，y=sinxy=cosxmaxminx2kπkZy1x(2k1)πkZy1当，时，当，时，22奇函数：图像关于原点对称偶函数：图像关于y轴对称ππ[2kπ2kπ](kZ)22π3π[2kπ2kπ](kZ)22，，函数是增加的，，函数是减少的[(2k1)π2kπ](kZ)[2kπ,(2k1)π](kZ)，，函数是增加的，函数是减少的单调性值域提升总结：正弦和余弦函数的性质对比3522322223252372例1画出函数的简图，根据图像讨论函数的性质．cos1yx=-xy=cosx022320-1-2-10０－１０１解：列表1y=cosx-1y=cosx-1yxo--1234-2-31223252722325-2y=cosx函数y=cosx-1定义域值域奇偶性周期性单调性最值R[-2,0]偶函数2πx2k,2k(kZ)x2k,2k(kZ)当时，函数是增加的；当时，函数是减少的x2k(kZ)0x(2k1)(kZ)2当时，最大值为；当时，最小值为思考交流：1cosxx.2根据余弦函数的图像，求满足的的集合21y1画直线y=解析：的图像.21在区间-π，π中直线y=与余弦函数图像有两个交点,2x6yo--12345-2-3-41ππ在区间-π，π中两个交点对应的自变量为-，,33+ππππ在区间-，两端点加上周期即为所求，即2kπ-，2kπ(k∈Z).3333≥452coscos.78例比较与的大小解：,且4π5π78减因在上是少的π为y=cosx区间，π，2.所以4π5πcoscos781.函数f(x)=cos4x,x∈R是()A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数22C2.下列函数，在［,π］上增加的是()A.y=cos2xB.y=cosxC.y=sin2xD.y=sinx2A3.不求值比较下列两个三角函数值的大小.78coscos.1011解：78,1011且减少的π因为y=cosx在区间，π上是，278coscos.1011所以4.对于实数范围内的x，分别写出满足sinx=cosx,sinxcosx,sinxcosx的x的集合答案：xxk,kZ45x2kx2k,kZ443x2kx2k,kZ44解：x0y=cosx10-101y=2cosx20-2022π23π2π5.用五点法画函数y=2cosx，xR的图像.y=2cosx，xR由周期性得整个图像.yxo--2222223xxycossinxR,解：定义域关于原点对称,xxxfxxycossin)(cossin记为把函数6.判断函数的奇偶性：..通过本节学习应掌握以下几点:1.余弦函数y=cosx的图像和性质及其运用.2.用“五点法”和“图像变换法”作余弦函数的图像.被人揭下面具是一种失败，自己揭下面具却是一种胜利.——雨果