二次函数与幂函数

二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0)时，减2.二次函数(1)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R值域),44[2abac]44,(2abac单调性在]2,(ab上单调递减，在),2[ab上单调递增在]2,(ab上单调递增，在),2[ab上单调递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：)44,2(2abacab(2)二次函数表达式的三种形式①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))．③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．(×)(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×)(3)幂函数的图象不经过第四象限．(√)(4)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(×)(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.(×)(6)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(7)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小．(√)(8)当n＞0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数．(×)(9)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22.(×)(10)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×)考点一二次函数解析式命题点1.一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)2.顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)3.零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)[例1](1)已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)＝________.解析：由于f(x)有两个零点0和－2，所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，由于f(x)有最小值－1，所以必有a＞0，－a＝－1.解得a＝1.因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.答案：x2＋2x(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解：法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴拋物线的对称轴为x＝2＋－12＝12.∴m＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝a2)21(x＋8.∵f(2)＝－1，∴a2)212(＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－42)21(x＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即4a－2a－1－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.[方法引航]根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：1．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．解析：设y＝a(x－2)2－1，当x＝0时，4a－1＝1，a＝12，∴y＝12(x－2)2－1.答案：y＝12(x－2)2－12．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析：∵f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2是偶函数，∴ab＋2a＝0(a≠0)，∴b＝－2，当x＝0时，2a2＝4，∴a2＝2，∴f(x)＝－2x2＋4.答案：－2x2＋4考点二二次函数图象和性质命题点1.二次函数的最值2.二次函数的单调性3.二次方程及函数、不等式恒成立问题[例2]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.[方法引航]1二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；2二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解；3对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1．若本例已知条件不变，求f(x)的最小值．解：f(x)＝(x＋a)2＋3－a2，关于x＝－a对称，∵x∈[－4,6]．①当－a≤－4，即a≥4时，f(x)在[－4,6]上为增函数，∴f(x)min＝f(－4)＝16－8a＋3＝19－8a②当－4＜－a≤6，即－6≤a＜4时，只有当x＝－a时，f(x)min＝3－a2，③当－a＞6时，即a＜－6时，f(x)在[－4,6]上为减函数，∴f(x)min＝f(6)＝36＋12a＋3＝39＋12a.综上，当a≥4时，f(x)min＝19－8a.当－6≤a≤4时，f(x)min＝3－a2.当a＜－6时，f(x)min＝39＋12a.2．若本例已知条件不变，f(x)＝0在[－4,6]上有两个不相等实根，求a的取值范围．解：要使f(x)＝0，在[－4,6]上有两个不等实根，需f－a＜0－4≤－a≤6f－4≥0f6≥0即3－a2＜0，－6≤a≤4，19－8a≥0，36＋12a≥0.解得，－134≤a＜－3或3＜a≤198.3．若本例中f(x)＞0在x∈(0,6]上恒成立，求a的取值范围．解：x2＋2ax＋3＞0，在x∈(0,6]上恒成立，即2a＞－)3(xx在x∈(0,6]上恒成立，只需求u＝－)3(xx，x∈(0,6]的最大值．∵x＋3x≥23，当且仅当x＝3时，取等号．∴umax＝－23，∴2a＞－23，∴a＞－3.考点三幂函数图象与性质命题点1.幂函数图象2.幂函数性质[例3](1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()解析：∵幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，∴f(x)＝.答案：C(2)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的值为()A．－1B．2C．－1或2D．3解析：∵函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－3是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又∵函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴m2＋m－3＞0，∴m＝2.答案：B(3)已知f(x)＝21x，若0＜a＜b＜1，则下列各式正确的是()A．f(a)＜f(b)＜f)1(a＜f)1(bB．f)1(a＜f)1(b＜f(b)＜f(a)C．f(a)＜f(b)＜f)1(b＜f)1(aD．f)1(a＜f(a)＜f)1(b＜f(b)解析：∵0＜a＜b＜1，∴0＜a＜b＜1b＜1a，又f(x)＝21x为增函数，∴f(a)＜f(b)＜f)1(b＜f)1(a.答案：C[方法引航]1若幂函数y＝xαα∈R是偶函数，则α必为偶数.当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.2若幂函数y＝xα在0，＋∞上单调递增，则α＞0，若在0，＋∞上单调递减，则α＜0.,3在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.1．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞bD．a＞b＞d＞c解析：选B.幂函数a＝2，b＝12，c＝－13，d＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B.2．若3131)23()1(aa，则实数a的取值范围是________．解析：不等式3131)23()1(aa等价于a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或23＜a＜32.答案：(－∞，－1)∪)23,32([规范答题]“三个二次”间的转化二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决．[典例](本题满分12分)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)≥－1恒成立，求a的范围；(3)若f(x)＝0的两根都在[0,1]内，求a的范围．[规范解答](1)①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②当a0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝1a.2分ⅰ.当01a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0,1]内，∴f(x)在]1,0[a上递减，在]1,1[a上递增．∴f(x)min＝f)1(a＝1a－2a＝－1a.4分ⅱ.当1a1，即0a1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f(x)在[0,1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.6分③当a0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝1a0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min＝a－2，a1，－1a，a≥1.8分(2)只需f(x)min≥－1，即可．由(1)知，当a1时，a－2≥－1，∴a≥1(舍去)；当a≥1时，－1a≥－1恒成立，∴a≥1.10分(3)由题意知f(x)＝0时，x＝0，x＝2a(a≠0)，0∈[0,1]，∴02a≤1，∴a≥2.12分[规范建议](1)分清本题讨论的层次第一层：函数类型a＝0和a≠0.第二层：开口方向a0和a0.第三层：对称轴x＝1a与区间[0,1]的位置关系，左、内、右．(2)讨论后要有总结答案．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知342a，323b，3125c则()A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b解析：选A.，323442a，3231525c而函数32x