极限与连续

1第２章极限与连续２.１数列的极限1.数列及其极限一、数列极限的描述性定义1.依照某种规律排列的一串数叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项。数列中的一般项称为通项,用xn表示。2.看几个数列的实例：1,4,9,16,25,…,n2,…1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,…3.数列可以看成为自变量取正整数值n的函数即:xn＝f(n)4.数列的极限对于数列x1,x2,x3,…,xn,…，当项数n无限增大时，它的通项xn无限趋近于某一个常数a，则称a为数列{xn}的极限。记作axnnlim或xn→a(n→+∞)5.具有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列称为发散数列例如：⑴,21,,41,21,11n⑵,1)1(,,45,34,23,2nnn⑶,1,,43,32,21nn⑷1,-4,9,-16,25,-36,…,(-1)n+1n2,…其中，⑴⑶是收敛数列，⑵⑷是发散数列。[几点说明]1.数列的收敛与否与这个数列的增减性无关例如上面的收敛数列中，⑴是递减数列，⑶是递增数列。常数列一定是收敛数列。2.收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛。3.收敛数列的极限有的可以达到，有的不能达到。例如，常数列可以达到它的极限，但上面的例子都不能达到它们的极限。二、数列极限的精确定义1.无限趋近于a的意义是指：⑴随着n的增大，数列的项xn与a之间的距离越来越小2⑵只要n足够大，数列的项xn与a之间的距离可以小于给定的任何正数⑶无论你给定一个多小的正数，都一定可以在数列中找到一项xN，使这一项后面所有的项与a之间的距离小于你给定的那个正数。定义2.1对于给定的无论怎样小的正数ε，总存在一个自然数N，使得当n＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立，那么，就称a是数列{xn}的极限。[重点提示]求N的方法是：解不等式|xn－a|＜ε例1证明：01limnn思考：按照数列极限的定义，要证01limnn，需求出使01n的正整数Ｎ。2221,1,1,1Nnnn取即两边平方得解证：21,0N令nnNn1,1,2时则当01lim,01nnn于是始终成立即2.数列极限的重要性质：⑴如果一个数列的极限存在，则此极限是唯一的。⑵一个数列增加或删去有限项，不影响此数列的极限，即数列极限的存在性不变，极限的值不变。三、数列极限的运算法则1.什么是数列的和、差、积、商设：{xn}:,21,,41,21,11n{yn}:,1,,43,32,21nn那么数列，,121,,4341,3221,2111nnn称为数列{xn}与{yn}的和,记作{xn＋yn}数列{xn－yn}，称为数列{xn}与{yn}的差数列{cxn}，称为常数c与数列{xn}的乘积数列{xn·yn}，称为数列{xn}与{yn}的积数列nnyx，称为数列{xn}与{yn}的商32.[数列极限的四则运算法则]如果数列{xn}和数列{yn}的极限都存在，且byaxnnnnlim,lim则这两个数列的和、差、积、商（在商的情况中yn≠0，b≠0）以及常数c与其中一个数列的积都是收敛的，且有⑴bayxyxnnnnnnnlimlim)(lim⑵acxcxcnnnnlim)(lim这说明求极限时，常数因子可以提到极限记号的前面来⑶abyxyxnnnnnnnlimlim)(lim⑷bayxyxnnnnnnnlimlimlim3.三个基本极限运用下面介绍的三个基本极限，可以利用数列极限的运算性质把复杂的数列极限化为简单的数列极限来解。⑴01limnn⑵0limnnq(|q|＜1)公比|q|＜1的等比数列称为无穷等比递缩数列，它的极限等于０例如：a,aq,aq2,…,aqn-1,…的极限为０,即0lim1nnaq(|q|＜1)特殊地，当a＝q时，有q,q2,q3,…,qn,…的极限也是０⑶ccnlim,即常数列的极限就是常数本身。例3求746153lim22nnnnn解：222222n22746153lim746153lim746153limnnnnnnnnnnnnnnnn210060031lim71lim46lim1lim1lim53lim22nnnnnnnnnn[解法总结]4如果数列的通项是分子、分母都是n的多项式的分式时，可将分子、分母同除以n的最高次幂，然后用极限的运算性质解。例4求221limnnn解：212lim2)1(lim21lim2222nnnnnnnnnnn[解法总结]如果数列的通项的分子或分母是无限项之和时，应先将无限项之和求出，再用极限的运算性质解。例5求)1(limnnn解：nnnnnnnnnn1)1)(1(lim)1(lim01lim1lim1lim111lim11limnnnnnnnnnnnnn[解法总结]如果数列的通项的分子或分母含有无理式时，可先将无理式有理化后再用极限的运算性质解。例6求nnnnn3232lim解：110101lim)32(lim1lim)32(lim1)32(1)32(lim3232limnnnnnnnnnnnnnn[解法总结]如果在数列通项的分子和分母中n在指数上时，可设法化为底数的绝对值小于１的指数式后，再用基本极限和极限的运算性质解。作业：P.513⑵,552.2函数的极限2.函数的极限一、自变量趋于无限时的函数极限研究函数xxxf1)(图象：Yy=1X在x＞0的范围内，图象向x增大的方向(向右)无限延伸时，趋近于直线y=1;在x＜0的范围内，图象向x减小的方向(向左)无限延伸时，也趋近于直线y=1。1.x→+∞时函数的极限[定义]设函数y＝f(x)，如果当x→+∞时，函数值f(x)无限趋近于某常数A，则称A是当x趋于正无穷时函数y＝f(x)的极限，记作)(limxfx＝A或f(x)→A(x→+∞)上例可表示为：11limxxx又如：01limxx，2112limxxx。2.x→-∞时函数的极限[定义]对于函数y＝f(x)，如果当x→-∞时，f(x)无限趋近于某常数A，则称A是当x趋于负无穷时函数y＝f(x)的极限,记作)(limxfx＝A或f(x)→A(x→-∞)上例可表示为：11limxxx又如：01limxx，2112limxxx。3.x→∞时函数的极限6[定义]对于函数y＝f(x)，如果x可正可负，且|x|无限增大时，f(x)无限趋于某常数A，则称A是当x趋于无穷时函数y＝f(x)的极限,记作)(limxfx＝A或f(x)→A(x→∞)上例可表示为：11limxxx又如：01limxx，2112limxxx。二、自变量x趋于某有限值x0时的函数极限x→x0的情况有两种，一种是x不断增大趋近于x0，即从x0的左边趋近于x0，记作x→x0-，另一种是x不断减小趋近于x0，即从x0的右边趋近于x0，记作x→x0+。这两种情况的结果可能不一样，特别是分段函数。例如：x,x＜0当x→0-时f(x)→0(左)f(x)＝x＋1,x≥0当x→0+时f(x)→1(右)1．x→x0-时函数的极限[定义]设函数y＝f(x)在点x0的邻域内即x0的左右(x0可除外)有定义，且当x→x0-时，函数值f(x)趋于常数A，则称A是当x趋近于x0-时，函数y＝f(x)的极限(左极限)，记作Axfxx)(lim02．x→x0+时函数的极限[定义]设函数y＝f(x)在点x0的邻域内即x0的左右(x0可除外)有定义，且当x→x0+时，函数值f(x)趋于常数A，则称A是当x趋近于x0+时，函数y＝f(x)的极限(右极限)，记作Axfxx)(lim0函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。3．x→x0时函数的极限[定义]设函数y＝f(x)在点x0的邻域内即x0的左右(x0可除外)有定义，且当x从x0的左右两侧同时无限趋近于x0时，函数值f(x)都趋近于常数A，则称A是当x趋近于x0时，函数y＝f(x)的极限，并记作Axfxx)(lim07[函数极限存在定理]当且仅当)(lim)(lim00xfxfxxxx和都存在且相等时，)(lim0xfxx才存在，即Axfxx)(lim0成立的充分必要条件Axfxfxxxx)(lim)(lim00[说明]函数极限的精确定义(又称为ε－δ定义)见课本P.52～54[重点提示]求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴22,2,1xxxxxy⑵00,310,sinxxxxxy解：⑴∵yyyyxxxx2222limlim,3lim,2lim∴函数在指定点的极限不存在。⑵∵yyyyxxxx0000limlim,0031lim,00sinlim∴函数在指定点的极限0lim0yx三、函数极限的运算法则如果当x→x0时，函数f(x)和g(x)的极限都存在，且Axfxx)(lim0,Bxgxx)(lim0,则有⑴BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)]()([lim000⑵cAxfcxfcxxxx)(lim)]([lim00⑶ABxgxfxgxfnxxxxxx)(lim)(lim)]()([lim000⑷)0(,)(lim)(lim)()(lim000BBAxgxfxgxfxxxxxx2.求函数的极限举例例如求下列极限⑴31lim3xx⑵93lim23xxx⑶xxx11lim08解：⑴613313limlim1lim31lim3333xxxxxx⑵6131lim333lim93lim3323xxxxxxxxx⑶21111lim)11(lim)11()11)(11(lim11lim0000xxxxxxxxxxxxxx例如求当x→∞时，下列函数的极限⑴112323xxxxy⑵11232xxxxy解：⑴323323111112lim112limxxxxxxxxxx20010021lim1lim1lim1lim1lim2lim323xxxxxxxxxx⑵323232111112lim112limxxxxxxxxxxx00010001lim1lim1lim1lim1lim1lim23232xxxxxxxxxxx由此可见，求x→∞时函数的极限与求数列的极限方法是相同的。[小结]求极限的一般方法⑴直接代入法。以x=x0代入f(x)，如f(x0)有意义，则极限为f(x0)⑵约分法。如f(x)为分式，且分子、分母可约分，约分后所得的式子代入有意义，则以x=x0代入约分后的式子即可求得函数的极限。⑶有理化法。如f(x)为分式，且分子、分母中其一为无理式，可将其有理化后再约分，如约分后可以以x=x0代入，则代入可求得函数的极限。⑷若x→∞，f(x)为分式，分子、分母均为多项式时，可将分子、分母同除