用面积法证明几何题

编号学士学位论文用面积法证明几何题学生姓名：阿娜尔古丽·约麦尔学号：20080101020系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2008-3班指导教师：迪丽拜尔老师完成日期：2013年5月3日学士学位论文BACHELOR’STHESIS1摘要面积是几何学的起源，它是几何中的重要内容。面积法是利用图形的面积关系建立一个或几个面积的关系式通过推理演算，以达到题目的一种方法。而且面积法也是数学解题中的重要方法。用面积法解几何题时常常需要将三角形面积之比转化为线段之比。有些问题用面积法来解决，往往可以化难为易，化繁为简，收到事半功倍的效果。通过对三角形的面积公式的了解，为证明几何题打下基础；整理了三角形面积公式证明几何题的几种分类和一些典型例题，描述了三角形，四边形等面积公式证明几何题的方法。用面积法证几何题不仅提供了一种证题的方法，而且还是一种经常用到的解题技巧，能够起到事半功倍的效果。关键词：面积法；证明题；求比值；线段学士学位论文BACHELOR’STHESIS2目录摘要...............................................................1引言...............................................................11.面积法证几何题常用的性质..........................................12.常用定理.........................................................33.应用《面积法》解题的理论依据......................................43.1证线段相等或不等.................................................................................................53.2证明面积成比例数列问题.....................................................................................53.3证明线段成比例.....................................................................................................63.4.证明三角形面积相等问题.....................................................................................73.5证明与圆有关的比例线段关系问题.....................................................................73.6求线段的比值.........................................................................................................8总结...............................................................9参考文献..........................................................10致谢..............................................................11学士学位论文BACHELOR’STHESIS1引言《面积法》是指从三角形，四边形等的面积出发，利用几何图形中的边，角与面积之间的关系，运用代数手段来完成几何中的推理过程。用面积比来证明几何问题比较广泛使用的，利用传统的方法解决一些几何问题甚至有些复杂的难题，但利用面积比解决一些几何问题，可以使你认为比较难解，甚至感觉无从下手的问题都能够轻易得到证明。1.面积法证几何题常用的性质1性质：等（同）底，等（同）高的两个三角形的面。例题1：求证：等腰三角形两腰上的高相等。已知：如图1，ABC中，ABAC,,BDCF分别是,ACAB上的高。求证：BDCF证明：,BDCF为ABC的高,1122ABCSABCFACBD又ABACCFBD性质2:两个三角形等（同）底（高），则它们面积的比等于其高（底）的比。例题2：如图2，P为ABC内任意一点，三边a，b，c的高分别为ah，bh，ch，且P到a，b，c的距离分别为at，bt，ct。求证：1abcabcttthhh分析：连接PA,PB,PC,容易看出aath，bbth，ccth分别是两个等底三角形的高之比，于是可将之比转化为面积之比，使命题得证。学士学位论文BACHELOR’STHESIS2证明：因为ABCPABPBCPCASSSS那么1PBCPCAPABABCABCABCSSSSSS又因为12PABcSct，12PBCaSat，12PCAbSbt111222ABCcabSctatbt，cPABABCctSSh,同理PBCaABCaStSh，PCAbABCbStSh因此，1cabcabttthhh性质3:证明三角形内角平分线的性质.例题3：如图3，已知AD是ABC的角平分线求证：ABBDACDC分析：如果用《面积法》通过等底同高三角形面积相等，及共角定理就很容易得证。证明：如图BADCAD1sin2ABDSABADBAD1sin2ADCSACADCADABDADCSABADABSACADAC又因ADB与ADC互补，ABDADCSBDADBDSDCADDC图2CBAP学士学位论文BACHELOR’STHESIS3既得ABBDACDC2.常用定理1定理：等底三角形面积之比等于其高之比；等高三角形面积之比等于其底之比。例题4：如图4，直角梯形ABCD中,:3:4ABDC求：:?ABDBCDSS解：12ABDSABBC,12BCDSDCBC1212ABDBCDABBCSABSDCDCBC,34ABDBCDSS定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方。例题5：如图所示，在ABC中，DE∥BC,49ADEABCSS求：?AEEC解：DE∥BC,~ADEABC249ADEABCSAESAC学士学位论文BACHELOR’STHESIS42,3AEAC21AEEC定理3：若两个三角形有一个角对应相等，则这两个三角形面积之比等于夹此角两边乘积之比。例题6：已知如图6，D，E是ABC的边BC上的两点，BADCAE。求证：22ABBDBEACCECD。证明：BADCAE，ABDAECSABADSACAE而ABDAECSBDSEC（AQ是两个三角形的公高）ABADBDACAEEC（1）又BEACAD又BEACADABEACDSABAESACAD。而ABEACDSBDSEC.ABAEBEACCDCD。所以12得22ABBDBEACCECD3.应用《面积法》解题的理论依据1.等积定理：两个全等三角形的面积相等。等底，等高的两个三角形或四边形的面积相等。两个等积三角形，若它们的底相等，则它们的高相等；若它们的高相等，则它们的底相等。整个图形的面积等于其各部分面积之和。2.面积比定理：两个三角形面积之比，等于它们的底，高之积得比。等底（高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底）之比。相似三角形（多边形）面积之学士学位论文BACHELOR’STHESIS5比等于它们对应边的平方比。3.面积公式：1;2ABCSah1sin;2ABCSbcA1;2ABCSabcrABCSssasbsc其中，12ABCSabc。,,abc是三角形三边长，h是三角形的高，r是三角形内切圆的半径，A是三角形的一个角。应用《面积法》解题一般可不添加或少添辅助线，证法简洁，直观，易于接受和掌握。运用三角形面积公式11si2 n;2ABCaSahbcA证明某些几何题，有时往往比其他方法思路更清晰。现举例说明如下。3.1证线段相等或不等例7从ABC的顶点C作∠C的平分线交AB与D，求证：2CDCABC证明：如图7,由定理有：222CDABACBDBCADABBDDAACADBCBD221ABCDCABCCABC但ABACBC,即1ABCAbc所以2CDCABC3.2证明面积成比例数列问题例8如图8，已知梯形ABCD两对角线,ACBD交与一点O.学士学位论文BACHELOR’STHESIS6求证：2BOCAOBDOCSSS证明：∠1与∠2互补，故AOBBOCSAOSOC又因∠2与∠3互补，BOCDOCSBOSDO又于~AOBDOC,AOBOCODOAOBBOCBOCDOCSSSS,2BOCAOBDOCSSS3.3证明线段成比例例9：从圆的内接四边形ABCD的边AB上一点M作,,MPCDMRADMQCD,且PR与MQ相交于点N.求证：::RNPNAMRM证明：如图，,MQCDMPBC,,,MPCQ四点共圆，则0180PMNC又已知,,,ABCD共圆，则0180ACPMNA有共角定理有：1AMRAMARMNPMNMP同理RMNB.即有2MNRAMARMNPMNMP又090ARMBPM学士学位论文BACHELOR’STHESIS7又123得MNRAMMNPBM又共边比例定理知，MNRRNMNPPNAMRNBMPN3.4.证明三角形面积相等问题例10已知ABC是等腰三角形，D是底边BC上的任意一点，EDCFDB求证：BDECDESS证明：易证~BDFCDEFDBDEDDC即FDDCBDED又EDCFDBBDECDF1BDECDFSBDDESFDCD3.5证明与圆有关的比例线段关系问题例11如图11，ABC的顶点A作外接圆的切线交BC与D.求证：22CDACBDAB证明：DD,ABDACDSBDSCDACDBAD，ACD与ACD互补学士学位论文BACHELOR’STHESIS8ACDABDSACCDSABAD,ABCACDSBCSCD又ACDABCACDABCSACADSABBC将上面4式相乘有22ACCDABBD3.6求线段的比值例12如图12，在ABC中，090BACABmAC，,N是AB的中点，APCN交边BC与D，求比值?BDDC解：在ABC中,APCN,ACAB∠1=∠2，又∠3=∠4.又共角和共边比例定理有BDBADABDNACDCCADCANADCABADNANCCACNADAC212ABANmACAC；学士学位论文BACHELOR’STHESIS9总结在一些难度更大的题目中,有时要多次应用面积或配合其它代数技巧和几何基本知识才能解决问题。有些问题用面积法来解决，往往可以化难为易，化繁为简，收到事半功倍的效果。通过上面的例题,可以看出面积与面积、面积与线段的互相转化是面积法解题的重要手段。灵活运用知识要点,巧妙进行等积变换是面积法解题的关解。学士