控制系统的频域分析-稳定性

第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院2020/5/121机械工程控制基础§5－4控制系统频域分析_稳定性第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院5.4频率域稳定判据1、奈奎斯特稳定性判据思想：将开环传递函数的频率特性和闭环极点在右半复平面的个数联系起来，即根据系统开环传递函数的频率特性来判定闭环系统的稳定性。[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率特性曲线对(－1，j0)点包围的次数为N，（N0逆时针，N0顺时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：Z=P-N。若Z=0，则闭环系统稳定，否则不稳定。第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院H(s)反馈控制系统G1(s))()()()()()()()(1)()()()()()()()()(1)()()()()()()()(1111sDsBsDsBsCsAsHsGsFsDsBsCsAsDsAsHsGsGsGsDsBsCsAsHsG辅助方程的零点等于闭环的极点；辅助方程的极点等于开环的极点。也就是说，如果辅助方程的零点全部位于复平面的左半部，闭环稳定。闭环传递函数第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院–P:在右半平面开环特征根数;–Z:在右半平面闭环特征根数;–N:在[GH]平面，从-，幅相曲线绕（-1，j0)点逆时针转过的圈数。奈氏判据Z=P-N；Z=0时稳定。辅助函数F(s)三个特点：1.零、极点分别为闭、开环特征根;2.零、极点个数相等;3.与G(s)H(s)相差为1。niiniipszssHsGsF11)()()()(1)(奈氏稳定判据GHF根据柯西辐角原理第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院注意的几点：1、仔细确定开环右极点的数目P，虚轴上的开环极点按左极点处理;开环传递函数为最小相位,即指无正零点,无正极点。2、仔细确定开环奈氏曲线绕（-1，j0）点的圈数N，经过点左侧逆时针转为正，顺时针转为负。3、通过（-1，j0）的奈氏曲线为临界稳定，即系统不稳定。[GH]3OImRe0.70w04、开环传递函数含有积分环节，其奈氏曲线不和实轴封闭，无法形成对（-1，j0）点的包围；此时，从G(j0)H(j0)端实轴起顺时针补画至G(0+)H(0+)。第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院ImReOG1R0PImReOG1R0PImReOG1R0P例四个单位负反馈系统的开环幅相频率特性如图所示。并已知各系统开环不稳定特征根的个数P，试判别各闭环系统的稳定性。ImReOG1R2P奈氏判据Z=P-N；Z=0时稳定。如何计算该点第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院[例]某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。100[解]：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因，所以，闭环系统是不稳定的。2NPZ0P第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院[例]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：显然这是Ⅰ型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。010从图上看出：映射曲线顺时针包围(－1，j0)点，但实际的包络线没有缠绕在(－1，j0)点上，所以N=0，而P=0，故Z=P-N=0，闭环系统是稳定的。第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院1.正、负穿越的概念Bode判据是乃氏判据在bode图中的应用1)(cA2、Bode判据(-1,jo)ReIm)(Lc)(0204000)()()()()()~1(在－180°线上的穿越。范围是L(ω)0的频率段内。段上的穿越。在)~1(正穿越N+：曲线从上而下穿过实轴，相位增大；负穿越N-：曲线从下而上穿过实轴，相位减小。第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院在开环对数坐标图上，在所有L(ω)≥0的频段内，相频特性曲线穿越－180°线的次数——正、负穿越次数之差N+－N-=P/2，则闭环系统稳定。P为开环右极点数。（1）开环稳定，即P=0时，幅值交界频率小于相位交界频率，则系统闭环稳定。0ReImcg)(L)(0pcgdB02.Bode判据第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院（1）开环稳定，若幅值交界频率=相位交界频率，则系统闭环临界稳定。)(L)(0pcgdB0Bode判据0ReIm)0,1(j第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院（1）开环稳定，若幅值交界频率大于相位交界频率，则系统闭环不稳定。)(Lg)(0pcgdB0Bode判据0ReIm)0,1(jc第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院（2）开环不稳定，即P≠0时，N+－N-=P/2，则系统稳定。图中，N+=0，N-=2，所以，N+－N-≠P/2，系统闭环不稳定。图中，N+=2，N-=1，所以，N+－N-=2-1=P/2，系统闭环稳定。)(L)(2pdB0—)(L)(2pdB0++——第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院对于P=0的控制系统稳定与否是绝对稳定性的概念，稳定系统的稳定程度是相对稳定性(稳定裕度)的概念，一般说来，G(jw)H(jw)越接近于(-1，j0)点，系统的相对稳定性越差。下面以典型三阶系统为例进行说明。()(1)(2)KGssss3、相对稳定性第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院K=8-4-2024-2.5-2-1.5-1-0.500.5NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis051015202530-10-5051015StepResponseTime(sec)AmplitudeK=6-3-2-10123-3-2.5-2-1.5-1-0.500.5NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis0510152025303500.511.52StepResponseTime(sec)Amplitude第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院K=4K=1-2-1012-4-3-2-101NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis010203040506000.511.52StepResponseTime(sec)Amplitude-2-1012-4-3-2-101NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis05101500.20.40.60.811.21.4StepResponseTime(sec)Amplitude第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院K=0.5-2-1012-4-3-2-101NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis05101500.20.40.60.811.21.4StepResponseTime(sec)Amplitude由以上可以看出：极坐标图离开（-1，j0）点的远近程度是系统的相对稳定性的一种度量，这种度量常用相角裕量（度）和幅值裕量（度）来描述。第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院在系统设计中，不仅要求系统稳定，而且还希望系统具备适当的的稳定性储备——即裕量。0ReIm根据最小相位系统的开环传递函数的频率特性与(-1，j0)点的位置情况，系统是否稳定也分为：闭环稳定：G(jω)H(jω)不包围(-1，j0)点。1）、稳定性裕量)0,1(j对于开环稳定的系统：因此，用曲线接近(-1，j0)点的程度来衡量系统稳定裕量的大小——相对稳定性。临界稳定：G(jω)H(jω)通过(-1，j0)点。闭环不稳定：G(jω)H(jω)包围(-1，j0)点。第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院0ReImc习惯上用相位裕量（度）和幅值裕量（度）来表征开环幅相曲线接近临界点的程度，作为系统稳定程度的度量。（1）相位裕量（度）)(c1)(cA在ωc上，使系统达到不稳定的边缘（临界稳定）所需要附加的滞后角度(相位滞后量），称为相位裕量。)(180)(0cc相位裕量为正，系统稳定。0)(c相位裕量为负，系统不稳定。)()(0)(c单位圆第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院c0ReImggkA1)(ggk)(g)(1ggAk1gk幅值裕量为正，系统稳定。1gk幅值裕量为负，系统不稳定。在相位交界频率上，使开环幅值达到1所需放大的倍数。(2)幅值裕量（度）来表征时，用当dBkg，系统稳定。，则：如果0log201ggkk，系统不稳定。，则：如果0log201ggkk)(log20log20ggAk第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院cg)(0Im)(gk1c)(0)(ReReIm)(L)(dBkg)(cg)(L)(dBkg)(cg)()((3)Bode图上的幅值裕量和相位裕量000)(0)(dBkg0)(0)(dBkg0000gk1第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院已知系统的开环传递函数如下：)10010)(12()15.0(1000)()(2ssssssHsG1.写出系统的组成。2.绘制系统的开环Bode图，并标明各种频率和斜率。3.分析系统的稳定性。解：()10010100121115.010)()(2ssssssHsG1.系统组成比例环节、积分环节、惯性环节、一阶微分环节、振荡环节例：系统开环包括了五个典型环节，分别为：第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院ssG1)(33）积分环节：（121)(44ssG）惯性环节：（转折频率：4=0.510010100)(525sssG）振荡环节：（转折频率：5=10215.0)(222，转折频率：）一阶微分环节：（ssG()10010100121115.010)()(2ssssssHsG2.绘制Bode图101vk）比例环节：（第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院gkBodeDiagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100245=1020406020c)(L)(.3以系统闭环稳定。线，所没有穿越内，对数相频特性的范围且在由于系统开环稳定，1)(A所以系统闭环稳定。、因为,00gkg)(第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院几点说明：（1）控制系统的幅值裕量和相位裕量，是极坐标图对(-1，j0)点靠近程度的度量。故可用作设计准则。（2）对于最小相位系统，只有幅值裕量和相位裕量都是正值时，系统才是稳定的。（3）为了得到满意的性能，0060~30)(dBkg6log20decdBdecdBc/20,/40为保证稳定性，取处，其斜率在第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院)(L12)(090018002706020606040c比较处，不同斜率的稳定性在c)()(第5章控制系统频域分析内蒙古工业大学机械学院