《幂函数》教学设计(精品)

幂函数（一）教学目标1．知识与技能（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x21的图象.（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.2．过程与方法（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.（2）使学生进一步体会数形结合的思想.3.情感、态度、价值观（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.（二）教学重点、难点重点：常见幂函数的概念、图象和性质.难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小.（三）教学方法采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性.利用实物投影仪及计算机辅助教学.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入（多媒体显示以下5个问题，同时附注相关图象，每个问题的结论由学生说出，然后再在多面体屏幕上弹出）问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S21，这里a是S的函数.问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=t－1km/s，这里v是t的函数.学生阅读、思考、交流、口答，教师板演．师：观察上述例子中函数模型，这几个函数表达式有什么共同特征？生：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量.变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数.（引入新课，书写课题）培养学生的观察、归纳、概括能力，形成概念幂函数的定义一般地，形如yx（xR）的函数称为幂函数，其中x是自变量，师：请同学们举出几个具体的幂函数.理解幂函数的定义.是常数.生：如11234,,yxyxyx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.深化概念1.研究幂函数的图像（1）yx（2）12yx（3）2yx（4）1yx（5）3yx2.通过观察图像，填P86探究中的表格yx2yx定义域RR奇偶性奇奇在第Ⅰ象限单调增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增定点（1，1）（1，1）3yx12yx1yxR|0xx|0xx奇非奇非偶奇引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.42-2-4-6-8-10-551015让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.探究幂函数的性质和图像的变化规律，yx12yxy=x3y=x-10在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减（1，1）（1，1）（1，1）3.幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x）；（2）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x＞1，x＞1时，x∈（0，1），2yx的图象都在yx图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当0α＜1时，x∈（0，1），yx的图象都在yx的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.应用举例例1求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x52；（2）y=x43；（3）y=x－2.例1分析：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式（组），解不等式（组）即可得到所求函数的定义域.①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.解：（1）函数y=x52，即y=52x，其定义域为R，是偶函数，它在［0，+∞）上单调递增，在（－∞，0］上单调递减.（2）函数y=x43，即y=431x，其定义域为（0，+∞），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+∞）上单调递减.（3）函数y=x－2，即y=21x，其定掌握幂函数知识的应用.例2证明幂函数f（x）=x在［0，+∞）上是增函数.请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数，然后请一个学生作答，师板书.合作探究：【例3】比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1；（2）（－22）32，（－710）32，1.134；义域为（－∞，0）∪（0，+∞），是偶函数.它在区间（－∞，0）和（0，+∞）上都单调递减.例2证明：设0≤x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=1x－2x=212121))((xxxxxx=2121xxxx，因为x1－x2＜0，1x+2x＞0，所以f（x1）＜f（x2），即幂函数f（x）=x在［0，+∞）上是增函数.小结：以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性，作简要分析，提出注意点：在证得)()(21xfxf＜1后，要比较f（x1）与f（x2）的大小，要注意分母的符号.例3分析：比较两个或多个数值的大小，一般情况下是将所要比较的（3）3.832，3.952，（－1.8）53；（4）31.4，51.5.两个或多个数值转化为比较某一函数的不同函数值的大小问题，进而根据所确定的函数的单调性，比较自变量的大小即可.若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“－1”或“0”这些数作为中间量来进行比较.解：（1）∵所给的三个数之中1.531和1.731的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.531、1.731、1的大小就是比较1.531、1.731、131的大小，也就是比较函数y=x31中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y=x31的单调性即可，又函数y=x31在（0，+∞）课堂练习1.下列函数中，是幂函数的是A.y=－x21B.y=3x2C.y=x1D.y=2x2.下列结论正确的是A.幂函数的图象一定过（0，0）和（1，1）B.当α＜0时，幂函数y=xα是减函数C.当α＞0时，幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数3.函数y=x53的图象大致是上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.731＞1.531＞1.（2）（－22）32=（22）32，（－710）32=（107）32，1.134=［（1.1）2］32=1.2132.∵幂函数y=x32在（0，+∞）上单调递减，且107＜22＜1.21，∴（107）32＞（22）32＞1.2132，即（－710）32＞（－22）32＞1.134.（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.832＜1，3.952＞1，（－1.8）53＜0，从而可以比较出它们的大小.（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5.小结：（1）当底数相异，指数相同4.幂函数f（x）=axmm82（m∈Z）的图象与x轴和y轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a和m.的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.（2）当底和指数都不同，插入一个中间数，综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较.课堂练习答案：1.C2.D3.D4.a=1，m=1，3，5，7.归纳总结1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别.2.常见幂函数的图象和性质.3.幂值的大小比较方法.学生先自回顾反思，教师点评完善．形成知识体系.课后作业作业：2.3第一课时习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例1已知221(22)23mymmxn是幂函数，求m，n的值.【解析】由题意得0320112222nmmm，解得233nm，所以23,3nm.【小结】做本题时，常常忽视m2+2m–2=1且2n–3=0这些条件.表达式y=x(x∈R)的要求比较严格，系数为1，底数是x，∈R为常数，如221xxy，y=1=x0为幂函数，而如y=2x2，y=(x–1)3等都不是幂函数.例2比例下列各组数的大小.（1）8787)91(8和；（2）(–2)–3和(–2.5)–3；（3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；（4）533252)9.1()8.3(,)1.4(和.【解析】（1）8787)81(8，函数87xy在(0,+∞)上为增函数，又9181，则8787)91()81(，从而8787)91(8.（2）幂函数y=x–3在(–∞,0)和(0,+∞)上为减函数，又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3.（3）幂函数y=x–0.1在(0,+∞)上为减函数，又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1.（4）52)1.4(＞521=1；0＜32)8.3(＜321=1；53)9.1(＜0，∴53)9.1(＜32)8.3(＜52)1.4(.【小结】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.