高中数学必修五-等差数列(一)

等差数列（一）河口一中DONGYINGSHIHEKOUQUDIYIZHONGXUE一、数列的定义，通项公式:按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3,…an,…如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。二、数列的简单表示:三、给出数列的方法:复习在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）你能预测出下一次的大致时间吗？2062相差76通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。8844.43米(2)28,21.5,15,8.5,2,…,-24.减少6.5…高度(km)温度(℃)1232821.5157-11458.526-4.59-24…cm111111123242425252626272728282929302222222全国统一鞋号中成年男鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位:）分别是：，，，，，，，，，，，，，．某此系统抽样所抽取的样本号分别是:7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：7500，8000，8500，9000，10000，10500.（观察以下数列）引入这三个数列有何共同特征从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。请尝试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义交流1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。（1）指出定义中的关键词：从第2项起等于同一个常数⑵由定义得等差数列的递推公式：1(nnaadd是常数）说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据.每一项与其前一项的差探究练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。(1)1,1,1,1,1.(2)4,7,10,13,16.(3)3,2,1,1,2,3.(4)1,2,3,4,5,6.(5)5,9,13,,41,.n、等差数列的通项公式1{}.nnaada思考：已知等差数列的首项为，公差为，求根据等差数列的定义得到21aad，21aad所以32aad，43aad，3211()2aadaddad4311(2)3aadaddad1(1)naand由此得到(2)n11na当时，上面等式两边均为，即等式也成立1(1)naand等差数列的通项公式为方法一：不完全归纳法2、等差数列的通项公式n1n{}.aaa思考：已知等差数列的首项为，公差为d，求21aad，32aad，43aad，1nnaad}1n个1(1)naand将所有等式相加得方法二叠加法例1⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.⑵由a1=-5，d=-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1).由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：a1+4d=10a1+11d=31a1=-2d=3∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an四个量中知三求一.结论12310.nadna在等差数列中，⑴若，，，则13212.naadn⑵若，，，则161227.aad⑶若，，则7118.3daa⑷若，，则2910310跟踪训练3．等差中项如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.由等差中项的定义可知，a,A,b满足关系：222或abbAAaAbAa(aAb)意义：任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当a=b时，A=a=b.例3（1）在等差数列{an}中，是否有（2）在数列{an}中，如果对于任意的正整数n（n≥2），都有那么数列{an}一定是等差数列吗？11(2)?2nnnaaan112nnnaaan{}nmaaa思考：在等差数列中，项与有何关系？4、等差数列通项公式的推广解析：由等差数列的通项公式得1(1)naand①1(1)maamd②().nmaanmd①-②得().nmaanmd.nmaadnm进一步可以得到思考：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.解法一:依题意得：a1+2d=9a1+8d=3解之得a1=11d=-1∴这个数列的通项公式是：an=11-(n-1)=12-n故a12=0,a3n=12–3n.解法二：1.求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；2.100是不是等差数列2，9，16，…中的项？3.-20是不是等差数列0，-，-7…中的项；,154a,277a3910adnaan)1(1157)1(2100nn)(74727)1(020舍nn练一练72练一练4.在等差数列中471(1)10,19,.aaad已知求与11,3ad思考题：第15届现代奥运会于1952年在芬兰赫尔辛基举行，每4年举行一次。奥运会如因故不能举行，届数照算。（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式。（2）2008年北京奥运会是第几届？（3）2050年举行奥运会吗？30083+5×（n-1）500巩固练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1，则a等于（)A.1B.-1C.-D.311152.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=.(-3a-5)-(a-6)=(-10a-1)-(-3a-5)提示：提示：d=an+1-an=-43.在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？-35提示：52845244nn=45，46，…，8440