第三章多维随机变量及其分布-PPT精选

为什么需要讨论多维随机变量？以上我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到他的身高H和体重W。在这里，样本空间S={e}＝{某地区的全部学龄前儿童}，而H(e)和W(e)是定义在S上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布函数二维随机变量的边缘分布二维随机变量的条件分布随机变量的独立性两个随机变量的函数的分布返回退出本章小结习题设X1,X2,…Xn时定义在同一样本空间S上的随机变量，则向量(X1,X2,…Xn)称为n维随机变量或n维随机向量。当n=2时，称为二维随机变量，记为(X,Y).二维随机变量的分布函数设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数：F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P(X≤x,Y≤y)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X,Y的联合分布函数。二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义yx),(yxoP{x1X≤x2,y1Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)yx1yo2y2x1x联合分布函数的性质(1)F(x,y)是x和y的不减函数。即对于任意固定的y，当x2x1时F(x2,y)≥F(x1,y)；对于任意固定的x，当y2y1时，F(x,y2)≥F(x,y1)。.0),(),(),(),(,),(),,()4(),()3(1),(lim,0),(lim0),(lim,0),(lim,1),(0)2(1121122221212211,,yxFyxFyxFyxFyyxxyxyxyxyxFyxFyxFyxFyxFyxFyxyxyx，则，若对任意点也右连续；右连续，关于关于且[思考]问G(x,y)能否作为分布函数？答不能。虽然G(x,y)满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个性质。当x1=0,x2=1,y1=0,y2=1时，G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0)=1-1-1+0=-100,00,1)(yxyxxG如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)为离散型随机变量。二维离散型随机变量的概念称P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2,…为(X,Y)的概率函数。列成表格称联合分布列。概率函数pij满足YXx1x2…xn…x1p11p12…p1n…………………xmpm1pm2…pmn…………………二维离散型随机变量的概率函数1,011ijijijpp二维随机变量(X,Y)的分布函数定义为二维离散型随机变量的分布函数xxyyijijpyxF),(二维连续型随机变量、概率密度函数如果对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，存在非负可积函数f(x,y)，使对于任何实数x,y，有则称(X,Y)为二维连续型随机变量。函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度函数（或联合密度函数）。xydudvvufyxF),(),(二维连续性随机变量概率密度函数的性质由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质：(1)f(x,y)≥0；.),(}),{(),(),(},{),()4(),(/),(),()3(1),(),()2(2GbadcdxdyyxfGYXPYXGdxdyyxfdYcbXaPdxcbxayxfyxyxFyxFFdxdyyxf取值的概率上，在任意平面域上，有在矩形域；连续点，有在[注意]设E是一个随机试验，它的样本空间S={e}，设X1=X1(e)X2=X2(e),…,Xn=Xn(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量(X1,X2,…Xn)叫做n维随机变量或n维随机向量。二维随机变量的分布函数对于任意n个实数x1,x2,…xn，n元函数：F(x1,x2,…xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn,…}称为n维随机变量(X1,X2,…Xn)的分布函数，或称为随机变量X1,X2,…Xn的联合分布函数。它具有二维随机变量的分布函数类似的性质。n维随机变量返回设(X,Y)为二维随机变量，则称随机变量X的概率分布为(X,Y)关于X的边缘分布；随机变量Y的概率分布为(X,Y)关于Y的边缘分布，其分布函数，密度函数和分布律分别记为：FX(x),FY(y);fX(x),fY(y);pi.p.j.二维随机变量的边缘分布.,2,1,}{.,2,1,}{),()(),()(),(1.1.11jpyYPpipxXPppyFyFpxFxFYXiijijjijiiiyyijYxxjijXji，有对离散型随机变量二维随机变量的边缘分布dxyxfyfdyyxfxfdxdyyxfyFdxdyyxfxFYXYXyYxX),()(),()(),()(),()(),(，有对连续型随机变量例2设随机变量X和Y具有联合概率密度求边缘概率密度fX(x),fY(y).解26,(,)0,xyxfxy其它其它其它,010),(66),()(,010),(66),()(22yyydxdxyxfyfxxxdydyyxfxfyyYxxXyx2xyoxy例2设二维随机变量(X,Y)的概率密度为21222112212221221212121212221212()11(,)exp2(1)21()()()2,,,,,,,0,0,11.(,),,,,(,)~(,,,,)xfxyxyyxyXYXYN其中都是常数，且称为服从参数为的二维正态分布，记为试求二维正态随机变量的边缘概率密度。返回对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对于多个随机变量也可以讨论它们的条件分布。先从二维离散型随机变量开始讨论。设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布率为考虑二维离散型随机变量的条件概率,2,1,}{},{}{}{}{0.,2,1,}{.,2,1,}{),(.,2,1,,},{..1.1.ippyYPyYxXPyYxXPxXyYpjpyYPpipxXPpYXYXjipyYxXPjijjiiiiijjiijijjijiiijii发生的概率，则已发生的条件下事件，考虑在事件设的边缘分布率分别为和关于设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若二维离散型随机变量的条件概率的条件分布率。条件下随机变量为在，则称，若同样，对于固定的的条件分布率。条件下随机变量为在，则称YxXjppxXPyYxXPxXyYPxXPiXyYippyYPyYxXPyYxXPyYPiiijiiiijijjijjiijij,2,1,}{},{}{0}{,2,1,}{},{}{0}{..例1在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。其一是紧固3只螺栓，其二是焊接2处焊点。以X表示由机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目，以Y表示由机器人焊接的不良焊点的数目。具积累的资料知(X,Y)具有分布律：XY0123P{Y=j}0120.8400.0300.0200.0100.0600.0100.0080.0020.0100.0050.0040.0010.9000.0800.020P{X=i}0.9100.0450.0320.0131.000⑴求在X=1的条件下，Y的条件分布律；⑵求在Y=0的条件下，X的条件分布律。解在X=1的条件下，Y的分布律为在Y=0的条件下，X的分布律为{1,0}0.0306{01}{1}0.0459{1,1}0.0102{11}{1}0.0459{1,2}0.0051{21}{1}0.0459{0,0}0.84084{00}{0}0.90090{1,0}0.030{10}{0}0.900PXYPYXPXPXYPYXPXPXYPYXPXPXYPXYPYPXYPXYPY390{2,0}0.0202{20}{0}0.90090{3,0}0.0101{30}{0}0.90090PXYPXYPYPXYPXYPY例一射手进行射击，击中目标的概率为p(0p1)，射击直至击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律。解由题意可知，X和Y的联合分布律为,3,2,)1(},{}{,2,1,1},{}{.1,,2,1;,3,2,},{22112211112122112222nqpnqpnYmXPnYPmpqqqpqpqpnYmXPmXPnmnqpnYmXPnnmnnmmmmnnmnmnnn因而,2,1;,2,1,}{},{}{.1,,2,1;,3,2,11)1(}{},{}{11222222mmnmpqpqqpmXPnYmXPmXnYPnmnnqpnqpnYPnYmXPnYmXPmnmnnn于是得，条件分布律为考虑二维连续型随机变量的条件概率xYYxyyYxyyYdxyfyxfyfdxyxfyYyxXPdyyfdxdyyxfyYyPyYyxXPyYyxXPyYyxXPyYyxXPxyyfYYXyxfYX)(),()(),(}{)(),(}{},{}{0}{}{,0)(),(),,(),(很小时，有当，则有设考虑条件概率，对于任意，对于任意固定的。给定密度为的边缘概率关于的概率密度为设二维连续型随机变量的条件概率yXXYXXYxYYXxYXYYXYYYdxxfyxfxyFxfyxfxyfdxyfyxfyYxXPyxFXyYdxyxfyfyxfyxfXyYyfyxfyfyyfYYXyxfYX)(),()()(),()()(),(}{)()()(),()()(),(0)(,)(),(),,(),(和类似地，可以定义的条件分布，记为的条件下为在称的条件概率密度，记为的条件下为在，则称。若对于固定的的边缘概率密度为关于的概率密度为设二维随机变量返回设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数。若对所有x,y有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}则称随机变量X和Y是相互独立的。等价命题有F(x,y)=FX(x)FY(y)f(x,y)=fX(x)fY(y)P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj},i,j=1,2,…随机变量的独立性练习1已知二维随机变量(X,Y)的概率密度求：⑴系数A；⑵F(x,y)；⑶P{2X+3Y≤6}其它,00,0,),()32(yxAeyxfyx其它，故时，当故）由（解,