常微分方程2.4-变量替换法

1前面我们介绍了线性方程、变量可分离方程和全微分方程的求解问题，同时还介绍了一些可通过适当变换化为这三类方程的方法。§2.4变量替换法事实上，还有许多方程可以通过变量变换方法化为已知类型来求解。2就将方程变换为线性方程:下面介绍几种常见类型的变量替换法。通过引进新的变量2yz.sinxxzdxdz例如：对微分方程,2sin2yxxydxdy3引进变量xyz，则,,2xzdxxdzdyxzy原方程可化为0)()]()([dzzgdxzgzfxz这是一个变量可分离的方程。二、形如0)()(dyxyxgdxxyyf方程4例2.4.3求方程对上式分离变量得：0)()(22dyyxxdxxyy解：令,xyz则,ydxxdydz代入方程整理得0))(1()1(zdxxdzzdxzz积分得代入原变量得到通解为：0122dzzzxdxCzzxln1ln2.1lnCxyyx5利用变量替换法求解微分方程十分灵活，一般依赖于方程的形式和求导的经验。三、其它变换法例2.4.5求方程0)1()(dyxdxyxy解：做变换xzy,zdxxdzdy,0)()(2dzxxdxzz变量可分离方程.)1(112zCx故原方程的通解为.)1(112xyCx6解：该方程求解的困难在于右端的根号，因为代入（2.4.3）.)2()(222Cyxxyxxyxz22,22dyxdxzdz我们希望去根号，因此，做变换,2zxdxdzz这是一个齐次方程,,2zzxdxdz求解得例2.4.6求方程yxxdxdy27故我们做变换例2.4.7求方程)())((dydxxyydxxdyyx解：根据经验，仔细观察该方程的特征：.)(,)(ydxxdyxyddydxyxd.,vxyuyx代人原方程得：.vduudv因此得到原方程的解：).(yxCxy8例2.4.8求解方程.0)cos2(sin22yxyxdxdy解：仔细观察该方程的特征：.cos1tan,cossin22sin2ydyydyyy对方程做恒等变形得，.0)cossin2(cos122xyyxdxdyy求解线性方程得：自然做变换,tanyz原方程化为：.23xxzdxdz.)1(21tan22xCexy9解,xyu令xuddCxuu42sin2分离变量法：,回代将xyu通解：Cxxyxy4)2sin(2))(sin1(2xyxyxxyxuddu2sin1xyxydd求解微分方程xyxyxxy)(sin1dd)1(210yxxy1dd)2(解uyx令,1ddddxuxy方程变为,11dduxu分离变量法,)1ln(Cxuu,代回将yxu通解：,)1ln(Cyxy1yCxye或另解yxyxdd11xxyxxyyxyxe2dd2)3(2222解,22uyx令xuxyyxdddd22原方程变为xuexuxudd,xuv令,vxuxvxvxuddddvevxvxvddxxvved1dCxvelnCxxyxeln22齐次方程12四、Riccati方程形如).()()(2xfyxqyxpdxdy的方程称为Riccati方程。一般情况下，Riccati方程无法用初等积分法求出其解，只是对一些特殊情况，或事先知道了他的一个特解，才可以求出他的通解。13Riccati方程一些可求解的特殊类型：是变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。都是常数时，Riccati方程1、当)(),(),(xfxqxp2、当,0)(xp时，Riccati方程是线性方程。时，Riccati方程是Bernoulli方程。3、当,0)(xf).()()(2xfyxqyxpdxdy14将方程化为变量可分离的方程。.)1(2bzlazdxdzx4、当Riccati方程的形式为:22xbyxlaydxdy时，可利用变量替换,xyz).()()(2xfyxqyxpdxdy15因为)(xy是方程的解，因此方程变形为：2)()]()()(2[zxpzxqxxpdxdz这是一个Bernoulli方程。5、当Riccati方程有一个特解)(xy可利用变量替换),(xzy代入原方程得).()]()[()]()(2)[()(22xfxzxqxxzzxpdxxddxdz).()()(2xfyxqyxpdxdy16定理2.3设Riccati方程为：,2mbxaydxdy其中mba,,都是常数，且设.0a.0,0yx又设则当),2,1(,124,124,2,0kkkkkm时，方程可通过适当变换化为变量可分离的方程。6、对一些特殊类型的Riccati方程，介绍一个用变量替换法化为变量可分离方程的定理。17代入原方程得证.不妨设.1a否则可通过变量代换axx化为.1a因此，代替原方程，我们考虑mbxydxdy2当0m时，变量可分离的方程.2ybdxdy当2m时，做变量变化,xyz,2mbxaydxdy).(12zzbxdxdz变量可分离的方程。18当124kkm时，做变量代换,1,111mbyxm代入原方程得：,)1(22nmbddmbxydxdy2其中,124kkn再做变换,,12zttt进一步可把方程变为：,)1(122ltmzdtdz19P.711（2，4，6）3（1，4）作业P.501（17，18）