2010年高考理科数学试题及答案-全国卷1

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学第1页共4页2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学(必修+选修II)本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24SR如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么334VRn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(0,1,2,)kknknnPkCppkn…一．选择题(1)复数3223ii(A)i(B)i(C)12-13i(D)12+13i(2)记cos(80)k,那么tan100A.21kkB.-21kkC.21kkD.-21kk(3)若变量,xy满足约束条件1,0,20,yxyxy则2zxy的最大值为(A)4(B)3(C)2(D)1.（4）已知各项均为正数的等比数列{na}，123aaa=5，789aaa=10，则456aaa=(A)52(B)7(C)6(D)42(5)353(12)(1)xx的展开式中x的系数是2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学第2页共4页ABCDA1B1C1D1O(A)-4(B)-2(C)2(D)4(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种(7)正方体ABCD-1111ABCD中，B1B与平面AC1D所成角的余弦值为A23B33C23D63（8）设a=3log2,b=In2,c=125,则AabcBbcaCcabDcba(9)已知1F、2F为双曲线C:221xy的左、右焦点，点p在C上，∠1Fp2F=060，则P到x轴的距离为(A)32(B)62(C)3(D)6（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是(A)(22,)(B)[22,)(C)(3,)(D)[3,)（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PAPB的最小值为(A)42(B)32(C)422(D)322（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A)233(B)433(C)23(D)833第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(注意：在试题卷上作答无效)PABO2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学第3页共4页(13)不等式2211xx的解集是.(14)已知为第三象限的角，3cos25,则tan(2)4.(15)直线1y与曲线2yxxa有四个交点，则a的取值范围是.(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF2FDuuruur，则C的离心率为.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．)已知ABCV的内角A，B及其对边a，b满足cotcotabaAbB，求内角C．(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无．．．．．．．．效．）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数()(1)ln1fxxxx.（Ⅰ）若2'()1xfxxax，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：(1)()0xfx.2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学第4页共4页（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，过点(1,0)K的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设89FAFB，求BDK的内切圆M的方程.（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知数列na中，1111,nnaaca.（Ⅰ）设51,22nncba，求数列nb的通项公式；（Ⅱ）求使不等式13nnaa成立的c的取值范围.2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学答案12010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学(必修+选修II)答案第I卷一．选择题1．A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析1】32(32)(23)694623(23)(23)13iiiiiiiii.【解析2】232322323iiiiii2.B【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析1】222sin801cos801cos(80)1k,所以tan100tan802sin801.cos80kk【解析2】cos(80)kcos(80)k，00000sin18080sin100sin80tan1001008018080oooconconcon21kk3.B【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为max12(1)3z.【解析2】11222zxyyxz，画图知过点1,1是最大，1213Maxz4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析1】由等比数列的性质知31231322()5aaaaaaa，37897988()aaaaaaa10,所以132850aa,所以13336456465528()()(50)52aaaaaaaaa【解析2】123aaa=5325a；0xy1Oyxy20xyxA0:20lxyL022A2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学答案2ABCDA1B1C1D1O789aaa=103810,a633352845655052aaaaaaa，5.C【解析】124513353333322(12)(1)161281510105xxxxxxxxxxx的系数是-10+12=26.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有1234CC种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有2134CC种不同的选法.所以不同的选法共有1234CC+2134181230CC种.【解析2】33373430CCC7.D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC1D的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB1//DD1,所以B1B与平面AC1D所成角和DD1与平面AC1D所成角相等,设DO⊥平面AC1D，由等体积法得11DACDDACDVV,即111133ACDACDSDOSDD.设DD1=a,则12211133sin60(2)2222ACDSACADaa,21122ACDSADCDa.所以1312333ACDACDSDDaDOaSa,记DD1与平面AC1D所成角为,则13sin3DODD,所以6cos3.【解析2】设上下底面的中心分别为1,OO；1OO与平面AC1D所成角就是B1B与平面AC1D所成角，111136cos1/32OOOODOD8.C【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学答案3【解析1】a=3log2=21log3,b=In2=21loge,而22log3log1e,所以ab,c=125=15,而2252log4log3,所以ca,综上cab.【解析2】a=3log2=321log,b=ln2=21loge,3221loglog2e，32211112logloge；c=121115254，∴cab9.B【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】不妨设点P00(,)xy在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]12aPFexaexxc，22000||[)]21aPFexexaxc.由余弦定理得cos∠1FP2F=222121212||||||2||||PFPFFFPFPF,即cos0602220000(12)(21)(22)2(12)(21)xxxx,解得2052x,所以2200312yx，故P到x轴的距离为06||2y【解析2】由焦点三角形面积公式得：1202260116cot1cot322222222FPFSbchhh10.A【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b222aa,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1ba，所以a+2b=2aa又0ab,所以0a1b，令2()faaa,由“对勾”函数的性质知函数()fa在a(0,1)上为减函数，所以f(a)f(1)=1+21=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).【解析2】由0ab,且f(a)=f(b)得：0111abab