导函数解答题分类讨论解题模板-20191112104208

导函数解答题分类讨论解题模板导学案教学目标：1.掌握导函数解答题分类讨论解题模板。2.会用分类讨论思想解决导数大题。教学分析：导数分类讨论思想的背景，在高考中，近几年基本会涉及到关于参数的题型，比如2017年文科1卷、3卷，2015年2卷。教学过程：一．两个铺垫：1.导函数的几何意义：/0()kfx切2.关注点：/0()fx的符号，/()0fx时，函数单调递增；/()0fx时，函数单调递减。二．导函数呈现的几种形式：1.一次型；2.二次型；3./()xefx型；4.分式型(ln)x含有的类型；三．对二次型型的分类讨论1:step判断导函数的类型，（若为二次，首先考虑开口方向）。2:step若导函数为二次，判断其有根？（若能因式分解就因式分解，若不能分解就考虑判别式）。3:step判断根的大小。4:step若给定区间，判断根与已知区间和端点的联系。总结为：函数类型→有根？→谁更大→给定区间？四．典例例1已知函数2()(2)ln()fxxaxaxaR，求函数的单调区间。解析：'(2)(1)()2(2)axaxfxxaxx，(0)x，令'()0fx得121,2axx，当12a，即2a时，'()0fx恒成立，则()fx在(0,)上单调递增；当12a，即2a时，()fx在(0,1),(,)2a上单调递增，在(1,)2a上单调递减；当12a时，01.0a时，()fx在(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减；02.02a时，()fx在(0,),(1,)2a上单调递增，在(,1)2a单调递减。小结：导函数的结果是二次函数的，如果二次项系数为常数，直接判断根的情况，并比较根的大小。试一试：（2017新课标Ⅰ）已知函数2()()xxfxeeaax．(1)讨论()fx的单调性；(2)若()0fx≥，求a的取值范围．解析：（1）函数()fx的定义域为(,)，22()2(2)()xxxxfxeaeaeaea，①若0a，则2()xfxe，在(,)单调递增．②若0a，则由()0fx得lnxa．当(,ln)xa时，()0fx；当(ln,)xa时，()0fx，所以()fx在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增．③若0a，则由()0fx得ln()2ax．当(,ln())2ax时，()0fx；当(ln(),)2ax时，()0fx，故()fx在(,ln())2a单调递减，在(ln(),)2a单调递增．（2）①若0a，则2()xfxe，所以()0fx≥．②若0a，则由（1）得，当lnxa时，()fx取得最小值，最小值为2(ln)lnfaaa．从而当且仅当2ln0aa，即1a≤时，()0fx≥．③若0a，则由（1）得，当ln()2ax时，()fx取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242aafa．从而当且仅当23[ln()]042aa，即342ea时()0fx≥．综上，a的取值范围为34[2e,1]．例2.（2018全国卷Ⅲ改编题）已知函数21()exaxxfx．(1)求曲线()yfx在点(0,1)处的切线方程；(2)讨论函数()fx的单调性。解析：(1)2(21)2()exaxaxfx，(0)2f．()yfx在点(0,1)处的切线方程是210xy．（2）由（1）知'(1)(2)()xaxxfxe；当0a时，'()2fxx，()fx在(,2)上单调递增，在(2,)上单调递减；当0a时，12a，()fx在1(,2)a上单调递增，在1(,),(2,)a上单调递减；当102a时，12a，()fx在1(,2),(,)a上单调递增，在1(2,)a上单调递减；当12a时，'()0fx恒成立，()fx在(,)上单调递增；当12a时，12a，()fx在1(,),(2,)a上单调递增，在1(,2)a上单调递减；小结：导函数是二次型的，当最高项的系数是参数时，首先考虑参数，按照符号讨论，然后再考虑根的情况。试一试：2.（2017新课标Ⅲ）已知函数2()ln(21)fxxaxax．(1)讨论()fx的单调性；(2)当0a时，证明3()24fxa≤．【解析】（1）()fx的定义域为(0,)，1(1)(21)()221xaxfxaxaxx．若0a≥，则当(0,)x时，()0fx，故()fx在(0,)单调递增.若0a，则当1(0,)2xa时，()0fx；当1(,)2xa时，()0fx．故()fx在1(0,)2a单调递增，在1(,)2a单调递减.（2）由（1）知，当0a时，()fx在12xa取得最大值，最大值为111()ln()1224faaa3()24fxa≤等价于113ln()12244aaa≤，即11ln()1022aa≤．设()ln1gxxx，则1()1gxx．当(0,1)x时，()0gx；当(1,)x时，()0gx．所以()gx在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减.故当1x时，()gx取得最大值，最大值为(1)0g．所以当0x时，()gx≤0．从而当0a时，11ln()1022aa≤，即3()24fxa≤．课堂训练及课后练习：1.已知函数21()ln(1)(0)2fxaxaxxa，讨论()fx的单调性。2.已知函数2()(1),xfxaxe当0a时，求函数()fx的单调性。3.已知函数2221()()1axafxaRx，讨论函数()fx的单调区间。4.（2015新课标2）已知函数()ln(1)fxxax．（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）当()fx有最大值，且最大值大于22a时，求a的取值范围．（Ⅰ）()fx的定义域为(0,)，1()fxax．若0a≤，则()0fx，所以()fx在(0,)单调递增．若0a，则当1(0,)xa时，()0fx；当1(,)xa时，()0fx．所以()fx在1(0,)a单调递增，在1(,)a单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a≤时，()fx在(0,)上无最大值；当0a时，()fx在1xa取得最大值，最大值为111()ln(1)ln1faaaaaa．因此1()22faa等价于ln10aa．令()ln1gaaa，则()ga在(0,)单调递增，(1)0g．于是，当01a时，()0ga；当1a时，()0ga．因此a的取值范围是(0,1)．