计量经济学第八章--时间序列计量经济学模型-2

《计量经济学》《Econometrics》《经济计量学》18.1时间序列的平稳性及其检验8.2随机时间序列分析模型8.3协整与误差修正模型第八章时间序列计量经济学模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性二、随机时间序列模型的平稳性条件三、随机时间序列模型的识别8.2随机时间序列分析模型1、时间序列模型的基本概念随机时间序列模型（timeseriesmodeling）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,t)建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：(1)模型的具体形式(2)时序变量的滞后期(3)随机扰动项的结构例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（t=t），模型将是一个1阶自回归过程AR(1)：Xt=Xt-1+t这里，t特指一白噪声。一、时间序列模型的基本概念及其适用性一般的p阶自回归过程AR(p)是Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)(1)如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则称(*)式为一纯AR(p)过程（pureAR(p)process），记为Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(2)如果t不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移动平均（movingaverage）过程MA(q)：t=t-1t-1-2t-2--qt-q该式给出了一个纯MA(q)过程（pureMA(p)process）。一、时间序列模型的基本概念及其适用性将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均（autoregressivemovingaverage）过程ARMA（p,q）：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q该式表明：（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。（2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。一、时间序列模型的基本概念及其适用性经典回归模型的问题：迄今为止，对一个时间序列Xt的变动进行解释或预测，是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的，由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因此也常称为结构式模型（structuralmodel）。然而，如果Xt波动的主要原因可能是我们无法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来解释Xt的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。有时，即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关系的回归模型及其预测技术就不适用了。2、时间序列分析模型的适用性例如，时间序列过去是否有明显的增长趋势，如果增长趋势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行为里占主导地位呢？或者时间序列显示出循环周期性行为，我们能否利用过去的这种行为来外推它的未来走向？●随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变化特征来预测未来的变化趋势。使用时间序列分析模型的另一个原因在于：如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的形式。在这些情况下，我们采用另一条预测途径：通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进行推断。例如，对于如下最简单的宏观经济模型：这里，Ct、It、Yt分别表示消费、投资与国民收入。Ct与Yt作为内生变量，它们的运动是由作为外生变量的投资It的运动及随机扰动项t的变化决定的。tttCYC12110tttICY上述模型可作变形如下：两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项It的行为。如果It是一个白噪声，则消费序列Ct就成为一个1阶自回归过程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1)。ttttICC1111011211111tttttIIYY11121101121111111自回归移动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）是它的特殊情况。关于这几类模型的研究，是时间序列分析的重点内容：主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计。1、AR(p)模型的平稳性条件随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断。如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的，否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。一、随机时间序列的平稳性条件对于移动平均模型MR(q)：Xt=t-1t-1-2t-2--qt-q其中t是一个白噪声，于是2、MA(q)模型的平稳性0)()()()(11qqtttEEEXE22111121322111122210),cov()(),cov()(),cov()1(varqqttqqqqttqqqttqtXXXXXXX当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。因此:有限阶移动平均模型总是平稳的。由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q3、ARMA(p,q)模型的平稳性而MA(q)模型总是平稳的，因此ARMA(p,q)模型的平稳性取决于AR(p)部分的平稳性。当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的，否则，不是平稳的。最后（1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；（2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。因此，如果我们将一个非平稳时间序列通过d次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移动平均（autoregressiveintegratedmovingaverage）时间序列，记为ARIMA(p,d,q)。例如，一个ARIMA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)模型作为它的生成模型的。当然，一个ARIMA(p,0,0)过程表示了一个纯AR(p)平稳过程；一个ARIMA(0,0,q)表示一个纯MA(q)平稳过程。所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相关函数（partialautocorrelationfunction，PACF）。三、随机时间序列的识别识别原则16一随机时间序列的识别原则：若Xt的偏自相关函数在p以后截尾，即kp时，k*=0，而它的自相关函数k是拖尾的，则此序列是自回归AR(p)序列。若随机序列的自相关函数截尾，即自q以后，k=0（kq）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平均MA(q)序列。ARMA(p,q)的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。当p=0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当p、q都不为0时，它具有拖尾性质从识别上看，通常：ARMA(p，q)过程的偏自相关函数（PACF）可能在p阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes），但从p阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数（ACF）则是在q阶滞后前有几项明显的尖柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。表9.2.1ARMA(p,q)模型的ACF与PACF理论模式模型ACFPACF白噪声0k0*kAR(p)衰减趋于零（几何型或振荡型）P阶后截尾：0*k，kpMA(q)q阶后截尾：，0k，kq衰减趋于零（几何型或振荡型）ARMA(p,q)q阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）p阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）图9.2.2ARMA(p,q)模型的ACF与PACF理论模式ACFPACF模型1：tttXX17.00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1模型2：tttXX17.0模型3：17.0tttX-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF2-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF2-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678ACF3-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678PACF3模型4：ttttXXX2149.07.0模型5：117.07.0ttttXX-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF4-0.4-0.20.00.20.40.612345678PACF4-1.2-0.8-0.40.00.40.812345678ACF5-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF5一、长期均衡关系与协整经典回归模型（classicalregressionmodel）是建立在稳定数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中：因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能，其原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration）。经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述1、长期均衡tttXY10式中:t是随机扰动项。该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。在t-1期末，存在下述三种情形之一：（1）Y等于它的均衡值：Yt-1=0+1Xt；（2）Y小于它的均衡值：Yt-10+1Xt；（3）Y大于它的均衡值：Yt-10+1Xt；在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应变化量由式给出:tttvXY1式中，vt=t-t-1。实际情况往往并非如此如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化Yt大一些；反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小于第一种情形下的Yt。可见，如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。因此，一个重要的假设就是:随机扰动项t必须是平稳序列。显然，如果t有随机性趋势（上升或下降），则