第三章力学基础(应力分析)

第二章金属塑性变形的力学基础应力分析河南科技大学材料学院连续性假设。变形体内由连续介质组成，应力、应变位移都是坐标的连续函数。匀质性假设。变形体各点的组织、化学成分均匀且相同，即各点的物理性质不随坐标改变。塑性理论/力学主要研究的是金属在塑性状态下的力学行为。为简化研究过程，常采用以下假设。金属塑性成形基本假设各向同性假设。各质点在各方向上的物理、化学性能相同，不随坐标而改变。初应力为零。受外力之前物体处于自然平衡状态，即变形时的内部产生应力仅由外力引起。体积力为零。重力、磁力、惯性力与外力相比很小，忽略不计。体积不变假设。变形前后体积不变。金属塑性成形基本假设从静力学角度对应力分析，根据平衡条件导出应力平衡微分方程。从几何学角度，根据连续性、匀质性假设，用几何学方法导出小应变几何方程。从物理学角度，根据试验和假设导出应力-应变关系，即本构方程。建立由弹性进入塑性状态并继续塑变必须具备的力学条件，即屈服准则。塑性理论的主要内容外力与应力惯性力磁力重力体积力动方向相反）摩擦力（方向与质点运相互平行反作用力作用力接触力面力外力体积力一般忽略不计，但在高速成形时惯性力不可忽略内力：在外力作用下，物体内各质点之间产生相互作用的力。应力：单位面积上的内力，称为应力。单向受力下的应力及分量0limAPSA全应力S分解为平行于N方向为正应力，平行于截面为切应力。即222S单向受力下的应力及分量单向拉伸时000dPPSdAA00过Q点任一斜面，该面法向与轴成θ，则斜面上有:全应力正应力切应力01coscoscosPPPAAAs2coscosS1sinsin22S即通过Q点的任意面上的应力及分量是θ的函数。应力分量xyzxxyyxzyxzzxzyyzyzyyxxyzxyyxyzzyzxxz三个正应力分量六个剪应力分量多向受力下的应力及分量Q多向受力下的应力及分量应力作用线沿x轴方向应力作用线沿y轴方向应力作用线沿z轴方向xyxxxzijyxyyyzzyzxzzxyz作用在面上应力作用在面上应力作用在面上应力特点：用矩阵表示，行表示每个受力平面上的应力分量，列表示每个受力方向的应力分量；第一个下标表示作用面；第二个下标表示作用方向。正面：单元体上外法线指向坐标轴正向的面。应力的符号：正面上的应力指向坐标轴正向时为正，指向坐标轴负向时为负。材料力学中切应力的符号规定：材料力学中顺时针作用在单元体上为正，逆时针为负（作莫尔圆时才用）。多向受力下的应力及分量切应力互等定理假设单元体处于平衡状态，则绕单元体轴向的合力矩一定为零，则zyyzyxxyzxxz过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。xyzxyyxxzyxzzxzyyz多向受力下的应力及分量由切应力互等定理可知，只用6个独立的应力分量就可以表示空间一点的应力状态。多向受力下的应力及分量xxyxzyyzijz123000ij点的应力状态：受力物体内一点任意方位微分面上的受力情况。xyzxxyyxzyxzzxzyyzOABCABCxyzOyyxyzzzyzxxyxzxSxSySzN点的应力状态l=cos(N,x)m=cos(N,y)n=cos(N,z)斜截面外法线单位向量N=(lmn)SABC=dASOBC=ldASOAC=mdASOAB=ndA斜截面四面体的表面积分别为四面体处于平衡状态，则000xyzFFF如何求解斜面上的应力ABCxyzOyyxyzzzyzxxyxzxSxSySzNFzFxFy000xxyxzxyxyyzyzxzyzzSdAldAmdAndASdAldAmdAndASdAldAmdAndAyyxyzzzyzxxyxzxSxSySzNxxyxzxSlmnyxyyzySlmnzxzyzzSlmnABCxyzOFxFyFz000xyzFFF如何求解斜面上的应力全应力S在法线N向上投影即正应力σ，同时也是S在3轴上分量Si在N上的投影之和。即如何求解斜面上的应力xyzSlSmSn2222()xyzxyyzzxlmnlmmnnl222nnSijijll即例题说明已知某点应力张量为123232321zzyzxyzyyxxzxyxij求过该点与三个坐标轴等倾角的斜面上的正应力σ和剪应力值如何求解斜面上的应力由于斜面与三个坐标轴等倾角，所以31nmlxxyxzxSlmnyxyyzySlmnzxzyzzSlmn)321(3132)232(31)123(3133732正应力σSlSmSnxyz319)3233732(31剪应力2222xyzSSSτ32例题张量与应力张量如坐标系x、y、z可写成、空间方向余弦l、m、n可写（i=x,y,z）、一点的应力状态（i,j=x,y,z）一个角标符号带有m个角标，每个角标取n个值，则该角标符号共有个值。角标符号：带有下角标的符号，可用来表示成组符号或数组。ixilijmn张量与应力张量可以写为求和约定：在算式的某一项中，如有某个角标重复出现，则表示对该角标自1~n的所有元素求和。例如：31122331iiiaxaxaxaxpiipax（i=1,2,3）哑标：算式的某一项中重复出现的角标，表示求和，有哑标时可省去求和符号。自由标：算式的某一项中不重复出现的角标。表示表达式的个数，方程两侧自由标必须相同。例题ijijll2222()xyzxyyzxzlmnlmmnln222lnlnxxyxzyxyyzzxzyzllmmpmmnmnni=x,j=x,y,zi=y,j=x,y,zi=z,j=x,y,z例1.(,,,)iijjSlijxyz例2.xxyxzxSlmnyxyyzyzxzyzzSlmnSlmn张量与应力张量张量：坐标系改变时，可满足转换关系的若干分量组成的集合，如矩阵。张量的下角标数目即张量的阶数。是二阶张量，矢量是一阶张量，标量是零阶张量。ijp应力状态ij名称标量矢量张量分量个数30=131=332=9举例温度T、时间t速度v、力F张量与应力张量存在张量不变量，张量的分量可组成某函数，其值与坐标轴选取无关，即存在不变量。二阶张量有3个不变量。可叠加与分解。可分为对称张量、非对称张量、反对称张量。二阶张量存在三个主轴和主值，在主轴上，下标不同的分量为零，只留下两个下角标相同的3个分量，称为主值。ijjippijjippijjipp张量的特点张量与应力张量应力张量：一点的应力状态一旦确定，虽然9个分量可随着坐标改变而变化，但该点的应力状态并未变。坐标变化前后的9个分量存在着线性变换关系。即一点应力状态的9个分量构成一个二阶张量柱坐标下点的应力张量当变形体是旋转体时，采用柱坐标系进行分析更方便：设ρ-径向，θ-周向，Z-轴向，ijijzijzzzz则主应力主平面——切应力为零的微分面主应力（应力主值）——主平面上的正应力主方向（应力主轴）——主平面的法线方向，即主应力方向。以主应力表示的应力张量：321000000ij主应力设l、m、n为主平面的方向余弦，则该面上的τ=0，S=σ，S在三轴上的投影为：nSmSlSzyxnmlnSnmlmSnmllSzyzxzzzyyxyyzxyxxx又因为0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx1222nml由于，因此l、m、n不同时为零0xyxyzxyyzyxzyzz则三元齐次方程组的系数矩阵一定等于零321230JJJ展开方程组系数矩阵，可得主应力主应力应力状态特征方程321230JJJ1xyzJ2222()xyyzzxxyyzzxJ22232xyzxyyzzxxyzyzxzxyJ式中主应力应力状态特征方程的三个实根一般用1、2、3表示，即三个主应力。321230JJJ0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx将主应力1、2、3的值分别代入齐次线性方程组中的任意二式，并与联解，可得3组l,m,n，即3个互相垂直的主平面。2221lmn主应力例题：已知点的应力状态，求其的主应力、主方向。（应力单位：MPa）513162324ij155641zyxJ解：60914)203024()(2222zxyzxyxzzyyxJ54420661205131623243zyzxzyzyxyxzxyxJ代入应力特征方程得3215605400)66)(9(233339321解得主应力将应力分量代入0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx并与2221lmn联立得222(4)2302(6)03(5)01lmnlmnlmnlmn将主应力代入上式可得三组主方向：11112222333391/30.577330.211;0.789;0.577330.789;0.211;0.577lmnlmnlmn时，时，时，1xyzJ2222()xyyzzxxyyzzxJ22232xyzxyyzzxxyzyzxzxyJ应力张量不变量J1、J2、J3分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量应力状态特征方程与坐标系的选取无关，应力张量的第一、第二、第三不变量J1、J2、J3也不随坐标而变化。主应力主应力当取三个应力主方向为坐标轴时，一点的应力状态只有三个主应力，即123000000ij则任意斜面上全应力S在三个坐标轴上分量为，由得(,,,)iijjSlijxyz123,,SSS112233SlSmSn1123J2122331()J3123J主应力斜面正应力：232221222)(2nmlnlmnlmnmlzxyzxyzyx斜面切应力：22322212232222212232221222)(nmlnmlSSSS