两条直线的位置关系-课件(北师大必修2)2

[读教材·填要点]1．两直线平行与斜率的关系(1)对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别是k1，k2，有l1∥l2⇔(2)如果l1，l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与垂直，故l1l2.k1＝k2.x轴∥2．两直线垂直与斜率的关系(1)如果直线l1，l2的斜率都存在，并且分别为k1，k2，那么l1⊥l2⇔(2)如果两直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一个是零，那么l1与l2的位置关系是..l1⊥l2k1·k2＝－1[小问题·大思维]1．l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是什么？提示：(1)两条直线的斜率存在，分别为k1，k2；(2)l1与l2不重合．2．若两条直线平行，斜率一定相等吗？提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在时，斜率相等．若两条直线都垂直于x轴，它们平行，但斜率不存在．3．若两条直线垂直，它们斜率之积一定为－1吗？提示：不一定．两条直线垂直，只有在斜率都存在时，斜率之积才为－1.若其中一条直线斜率为0，而另一条直线斜率不存在，两直线垂直，但斜率之积不是－1.[研一题][例1]根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行或垂直．(1)直线l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，直线l2经过C(3，－2)，D(8，－7)；(2)直线l1平行于y轴，直线l2经过P(0，－2)，Q(0，5)；(3)直线l1经过E(0,1)，F(－2，－1)，直线l2经过G(3，4)，H(2,3)；(4)直线l1：5x＋3y＝6，直线l2：3x－5y＝5；(5)直线l1：x＝3，直线l2：y＝1.[自主解答](1)直线l1的斜率k1＝5－1－3－2＝－45，直线l2的斜率k2＝－7－－8－3＝－1，显然k1≠k2，直线l1与l2不平行；∵k1·k1≠－1，∴l1与l2不垂直．(2)直线l2的斜率不存在，就是y轴，所以直线l1与l2平行；(3)直线l1的斜率k1＝－1－1－2－0＝1，直线l2的斜率k2＝3－42－3＝1，所以k1＝k2，而kGE＝4－13－0＝1，所以E，F，G，H四点共线，直线l1与l2重合．(4)k1＝－53，k2＝35，k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.(5)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，∴l1⊥l2.[悟一法](1)判断两直线的平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看直线上任意两点的横坐标是否相等．若两点的横坐标相等，则直线与x轴垂直，可根据平面几何知识直接证明．(2)在两直线斜率都存在且相等的情况下，应注意两直线是否重合．(3)判定两直线的垂直，可借助直线的斜率关系即k1·k2＝－1来解决，使几何问题代数化．在利用斜率关系时，注意斜率为0和不存在的特殊情况．[通一类]1．判断下列直线的位置关系．(1)已知两条直线l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)已知两条直线l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0.解：(1)直线l1化为斜截式为y＝－35x＋65，直线l2化为斜截式为y＝－35x－310，由此可知l1的斜率为k1＝－35，在y轴上的截距为b1＝65，l2的斜率为k2＝－35，在y轴上的截距为b2＝－310.因为k1＝k2＝－35，b1＝65≠－310＝b2，所以l1∥l2.(2)由直线l1的方程，知l1的斜率为k1＝12；由直线l2的方程，知l2的斜率为k2＝－2.显然，k1k2＝12×(－2)＝－1，所以l1⊥l2.[研一题][例2]已知直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值．[自主解答](1)当m＝0时，l1：x＋2＝0，l2：2x－12y－1＝0，显然l1与l2不平行．(2)当m＝3时，l1：5x＋4＝0，l2：2x－1＝0，l1与l2的斜率均不存在，∴l1∥l2.(3)当m≠0且m≠3时，l1：y＝－m＋2m2－3mx－4m2－3m，l2：y＝－2m－x＋1m－.∵l1∥l2，∴－m＋2m2－3m＝－2m－.解得m＝－4，此时l1：y＝114x－17，l2：y＝114x－128，l1与l2平行但不重合．综上所述：m＝3或m＝－4.[悟一法]在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不能明确两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论．[通一类]2．已知直线：l1：ax－y＋2a＝0与l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，求a的值．解：(1)当a≠0时，l1的斜率k1＝a，l2的斜率k2＝－2a－1a.∵l1⊥l2，∴a·(－2a－1a)＝－1，即a＝1.(2)当a＝0时，直线l1的斜率为0，l2的斜率不存在，两直线垂直．综上所述，a＝0或a＝1为所求.[研一题][例3]已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．[自主解答](1)法一：利用直线方程的点斜式求解．由l：3x＋4y－20＝0，得kl＝－34.设过点A且平行于l的直线为l1，则kl1＝kl＝－34，所以l1的方程为y－2＝－34(x－2)，即3x＋4y－14＝0.法二：利用直线系方程求解．设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.由点A(2,2)在直线l1上，得3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14.故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0.(2)法一：设过点A与l垂直的直线为l2.因为klkl2＝－1，所以kl2＝43，故直线l2的方程为y－2＝43(x－2)，即4x－3y－2＝0.法二：设l2的方程为4x－3y＋m＝0.因为l2经过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2.故l2的方程为4x－3y－2＝0.[悟一法]1．求经过点A(x0，y0)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程，当l的斜率存在(求垂直直线时，要求斜率不为零)时，可利用直线方程的点斜式求直线方程，也可利用待定系数法根据直线系方程求直线方程．2．常见直线方程设法(1)所有与Ax＋By＋C1＝0平行的直线，均可表示为Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)的形式；(2)所有与Ax＋By＋C1＝0垂直的直线，均可表示为Bx－Ay＋C2＝0的形式．[通一类]3．已知直线l的方程为3x－2y－12＝0，求直线l′的方程，l′满足(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．解：(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x－2y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式，得m＝9.∴所求直线方程为3x－2y＋9＝0.(2)由l′与l垂直，可设其方程为2x＋3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式，得n＝－7.∴所求直线方程为2x＋3y－7＝0.已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．[错解]由斜率公式kAB＝4－2－2m－4－－m－3＝2－m＋1，kCD＝3m＋2－m3－－m＝2m＋1m＋3.∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，即2－m＋1·2m＋1m＋3＝－1，解得m＝1，∴m的值为1.[错因]两直线垂直⇔k1k2＝－1的前提条件是k1、k2均存在且不为零，本题出错的原因正是忽视了前提条件，这类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论．[正解]∵A、B两点纵坐标不等，∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3.①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.而m＝－1时C、D纵坐标均为－1，∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式kAB＝4－2－2m－4－－m－3＝2－m＋1，kCD＝3m＋2－m3－－m＝2m＋1m＋3.∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，即2－m＋1·2m＋1m＋3＝－1，解得m＝1，综上m的值为1或－1.