离散型随机变量的方差教案1-人教课标版(优秀教案)

．．离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。过程与方法：了解方差公式“(ξ)ξ”，以及“若ξ～Β(，)，则ξ(—)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。教学重点：离散型随机变量的方差、标准差奎屯王新敞新疆教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题奎屯王新敞新疆教具准备：多媒体、实物投影仪。教学设想：了解方差公式“(ξ)ξ”，以及“若ξ～Β(，)，则ξ(—)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x，2x，…，nx中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(xx，22)(xx，…，2)(xxn，那么[12nS21)(xx＋22)(xx＋…＋])(2xxn叫做这组数据的方差奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量奎屯王新敞新疆随机变量常用希腊字母ξ、η等表示奎屯王新敞新疆.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量奎屯王新敞新疆．连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量奎屯王新敞新疆.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出奎屯王新敞新疆.分布列:ξ………….分布列的两个性质：⑴≥，＝，，…；⑵…．.二项分布:ξ～(，)，并记knkknqpC＝(；，)．ξ……nnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn.几何分布：(，)1kqp，其中＝,…，pq1．ξ……ppq2qp…1kqp….数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ…………则称E11px22px…nnpx…为ξ的数学期望，简称期望．.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平奎屯王新敞新疆平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令1p2p…np，则有1p2p…npn1，E1(x2x…nxn1)，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值奎屯王新敞新疆.期望的一个性质:baEbaE)(.若ξ（），则ξ奎屯王新敞新疆二、讲解新课：.方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x，2x，…，nx，…，且取这些值的概率分别是1p，2p，…，np，…，那么,D＝121)(pEx＋222)(pEx＋…＋nnpEx2)(＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量ξ的期望．.标准差:D的算术平方根D叫做随机变量ξ的标准差，记作．.方差的性质：（）DabaD2)(；（）22)(EED；（）若ξ～(，)，则D()奎屯王新敞新疆.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数的分布列为ξ161616161616从而1111111234563.5666666EX;2222221111(13.5)(23.5)(33.5)(43.5)666611(53.5)(63.5)2.9266DX1.71XDX.例．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资元获得相应职位的概率乙单位不同职位月工资元获得相应职位的概率根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得××××,()×.()×()×()×.;＝××××,()×.()×()×()×.因为,，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例．设随机变量ξ的分布列为ξ…n1n1…n1求ξ奎屯王新敞新疆解：（略）12nE,2n-1D12奎屯王新敞新疆例．已知离散型随机变量1的概率分布为171717171717171离散型随机变量2的概率分布为2．．．．．．71717171717171求这两个随机变量期望、均方差与标准差奎屯王新敞新疆解：47177127111E；471)47(71)42(71)41(2221D；211D奎屯王新敞新疆4713.4718.3717.32E；2D,2.022D.点评：本题中的1和2都以相等的概率取各个不同的值，但1的取值较为分散，2的取值较为集中．421EE，41D，04.02D，方差比较清楚地指出了2比1取值更集中．1＝，2，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差奎屯王新敞新疆例．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数，，的概率分别为;射手乙击中环数，，的概率分别为奎屯王新敞新疆用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平奎屯王新敞新疆解：180.290.6100.29E221(89)0.2(99)0.6D（）4.02.02；同理有8.0,922DE奎屯王新敞新疆由上可知，21EE，12DD奎屯王新敞新疆所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在环左右，但甲所得环数较集中，以环居多，而乙得环数较分散，得、环地次数多些．点评：本题中，1和2所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21EE，这时就通过1D和2D来比较1和2的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况奎屯王新敞新疆例．、两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：机床机床次品数ξ次品数ξ概率概率问哪一台机床加工质量较好奎屯王新敞新疆解：ξ××××,ξ××××.它们的期望相同，再比较它们的方差奎屯王新敞新疆ξ（）×（）×（）×（）×,ξ（）×（）×（）×（）×.∴ξξ故机床加工较稳定、质量较好.四、课堂练习：.已知~,,8,1.6BnpED，则,np的值分别是（）．1000.08和；．200.4和；．100.2和；．100.8和奎屯王新敞新疆答案：奎屯王新敞新疆.一盒中装有零件个，其中有个正品，个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为，，，当ξ时，即第一次取得正品，试验停止，则（ξ）43129当ξ时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则（ξ）449119123当ξ时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则（ξ）2209109112123当ξ时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则（ξ）220199101112123所以，ξ10322013220924491430奎屯王新敞新疆.有一批数量很大的商品的次品率为，从中任意地连续取出件商品，设其中次品数为ξ，求ξ，ξ奎屯王新敞新疆分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽件商品可以看作次独立重复试验，即ξ（，），从而可用公式：ξ，ξ(这里)直接进行计算奎屯王新敞新疆解：因为商品数量相当大，抽件商品可以看作次独立重复试验，所以ξ（，）奎屯王新敞新疆因为ξ，ξ，这里，，，所以，ξ×ξ××.设事件发生的概率为，证明事件在一次试验中发生次数ξ的方差不超过奎屯王新敞新疆分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差ξ()后，我们知道ξ是关于(≥)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论奎屯王新敞新疆证明：因为ξ所有可能取的值为，且（ξ）(ξ),所以，ξ×()×奎屯王新敞新疆则ξ（）×()()×()412)p1(p2.有、两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：ξξ其中ξ、ξ分别表示、两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于，试比较、两种钢筋哪一种质量较好奎屯王新敞新疆分析：两个随机变量ξ和ξ都以相同的概率．，．，．，．，．取个不同的数值．ξ取较为集中的数值，，，，；ξ取较为分散的数值，，，，．直观上看，猜想种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性奎屯王新敞新疆解：先比较ξ与ξ的期望值，因为ξ×××××,ξ×××十××.所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为ξ()×()×()×()×，ξ()×()×()×()×.所以，ξξ.因此，种钢筋质量较好奎屯王新敞新疆.在有奖摸彩中，一期(发行张彩票为一期)有个奖品是元的，个奖品是元的，个奖品是元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用奎屯王新敞新疆解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为，，，奎屯王新敞新疆依题意，可得ξ的分布列为ξ4003915015001200012.02000110050012550154003910E答：一张彩票的合理价格是．元．五、小结：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出ξ；④根据方差、标准差的定义求出D、.若ξ～(，)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1和2，在1E和2E相等或很接近时，比较1D和2D，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要奎屯王新敞新疆六、课后作业：练习组组.设～(、)且，求、解：由二次分布的期望与方差性质可知（－）∴4)1(12pnpnp∴3218pn.已知随机变量服从二项分布即(、31)求(；，31)解：()(31)(32).已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为