3.3几何概型

1.古典概型的特点:2.古典概型的概率计算公式:试验中所有可能出现的基本事件为有限个每个基本事件出现的可能性相等。知识回顾:P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数(2)等可能性:(1)有限性:问题1.红外保护线长3米，只有在和两端距离均不小于1米的点接触时，红外线才不会报警，则灰太狼能够安全进羊村的概率是多少？MNPQ问题2.若羊村是个面积为10000平方米的矩形，而灰太狼在羊村内炸出的圆有100平方米，假设喜羊羊在羊村的每一点都是等可能的，那么，他炸到喜羊羊的概率是多少？()1=3PQPAMN线段长度线段长度()1=100PA圆的面积羊村面积如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概型(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个(2)每个基本事件出现的可能性相等(三)在几何概型中,事件A的概率的计算公式:()(APA构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积)（一）几何概型的定义（二）几何概型的特点三、基本概念类比古典概型描述几何概型例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在0－60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0－60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得即“等待的时间不超过10分钟”的概率为60501(),606PA16几何概型的计算（一）与长度有关某学生在7：00-8：00任一时刻随机到达学校，问此人在7：05-7：15到达学校的概率？问此人在7：40-7：50到达学校的概率？设“某生在7:10-7:20到达学校”为事件A61A)(的长度试验全部结果构成区域对应区域的长度AP练习1：2.已知地铁站每隔10分钟有一班列车到达，每辆列车在车站停1分钟,则乘客到达站台立即乘上车的概率是多少？1103.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽车在1～3分钟之间到达的概率。分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中的2个单位长度。解：设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A，则52513)(AP所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率为52练习4.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件A发生的概率P（A）=1/3。3m1m1m练习5.（1）在区间[0，10]上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为：.（2）在区间[0，10]上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为：.411310正确区分古典概型与几何概型课堂练习例2.向边长为2的正方形内随机丢一粒豆子，豆子落在正方形内切圆内的概率是多少？解:记“豆子落入圆内”为事件A,向正方形内投入一粒豆子有无数种情况，且都等可能发生．答:豆子落入圆内的概率为．4()=4PA圆的面积正方形的面积区域D：正方形区域d：圆（二）与面积有关3.如右图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到红色部分的概率.21212(1)P();rrAr阴影部分的区域面积整个圆的面积3(2)P().8A1.下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？(1)(2)0.50.6练习2：某列岛周围海域面积约为17万平方公里，如果在此海域里有面积达0.1万平方公里的大陆架蕴藏着石油，假设在这个海域里任意选定一点钻探，则钻出石油的概率是多少？解：记“钻出石油”为事件A，则1701171.0AP的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积构成事件AAP（1）豆子落在红色区域；（2）豆子落在黄色区域；（3）豆子落在绿色区域；（4）豆子落在红色或绿色区域；（5）豆子落在黄色或绿色区域。3.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：4.已知：在一个边长为2的正方形中有一个椭圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，若落入椭圆的概率为0.3,求椭圆的面积．()SPAS椭圆正方形2()0.321.2SPAS正方形椭圆解：记“豆子落入椭圆内”为事件A，豆子落入正方形内任一点的机会都是等可能的.答：椭圆面积为1.2.[例3]一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．[精解详析]事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．所以P(A)＝184600＝2375.即海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率约为2375.例3.在500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放在显微镜下观察，问发现草履虫的概率？25015002A)(的体积试验全部结果构成区域对应区域的体积AP设“在2ml水样中发现草履虫”为事件A（三）与体积有关例3.一个20立方米的海洋球池里混入了一颗水晶球，现从中取出0.5立方米，含有水晶球的概率是多少？解：记“取出的0.5m³中含有这个水晶球”为事件A,水晶球在海洋球池里的分布可以看成是随机的．答：取出的球中含有这个水晶球的概率为0.025.0.51()=2040PA例3.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?6.57.57:008:00报纸送到时间父亲离家时间y=x（四）两个变量间求概率（会面问题）解:设送报人到达的时间为x，父亲离开家的时间为时间y。(x,y)可以看成平面上的点，实验的全部结果构成的区域为，这是一个正方形区域，面积为，事件A表示父亲在离开家能得到报纸，所构成的区域为即图中的阴影部分，面积为这是一个几何概型，所以111s}87,5.75.6|),{(yxyx}87,5.75.6,|),{(yxxyyxA.872121211AS7()8ASPAS7:008:00报纸送到时间父亲离家时间y=x6.57.5(2)在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率.0.004与面积成比例应用巩固：(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数a7的概率为.0.3与长度成比例若满足2≤a≤5呢？变式：若将“实数”改为“整数”呢？巩固练习：1.一路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，问你到达路口时，恰好为绿灯的概率为（）A.B.C.D.4735252.在10000km2的海域中有40km2的大陆架贮藏着石油.假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是________C3.在区间[1,3]上任取一个数,则这个数大于2的概率是________128151250()mPAn()dPAD的测度的测度概型古典概型几何概型特点公式等可能性有限性无限性等可能性延伸了一个概念：从有限到无限实践了三种测度模式：类比、转化渗透了两种思想：长度、面积、体积用几何概型解简单试验问题的方法•1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；•2、把基本事件转化为与之对应的区域D；•3、把随机事件A转化为与之对应的区域d；•4、利用几何概型概率公式计算。•注意：要注意基本事件是等可能的。几何概型的本质特征：3、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中．1、有一个可度量的几何图形S；2、试验E看成在S中随机地投掷一点；7．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为()A.22B.22πC.16D.16π解析：事件“点P到点A的距离小于或等于a”构成的区域是以A为球心，a为半径的球的18，故P＝18×43πa3a3＝π6.[例4](2012·中山高一检测)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率．[精解详析]圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．以O为球心，1为半径且圆柱内部的半球的体积V半球＝12×4π3×13＝2π3，则构成事件A“P到点O的距离大于1”的区域体积为2π－2π3＝4π3，由几何概型的概率公式得P(A)＝4π32π＝23.练习:5(会面问题)甲、乙二人约定在0点到5点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。解：以X,Y分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是.50,50YX即点M落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的..M(X,Y)y54321012345x二人会面的条件是：,1||YX25.925421225正方形的面积阴影部分的面积P(A)2012345yx54321y=x+1y=x-1记“两人会面”为事件A