11高等数学课件(完整版)详细

第十一章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得nk1M为计算此构件的质量,ks1kMkM),,(kkk1.引例:曲线形构件的质量采用设是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,kkkksf),,(都存在,上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),,(若通过对的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量szyxMd),,(nk10limks1kMkM),,(kkk和对如果L是XOY面上的曲线弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果L是闭曲线,则记为Ldsyxf),(则定义对弧长的曲线积分为思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,?d表示什么问Ls(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.3.性质szyxfd),,()1(（k为常数)szyxfd),,()3((由组成)(l为曲线弧的长度)),,(zyxgszyxfd),,(szyxgd),,(21d),,(d),,(szyxfszyxftttttfsdyxfLd)()()](,)([),(22二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义kknkksf),(lim10点),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk10lim])(,)([kkf连续注意)()(22tt设各分点对应参数为对应参数为则nk10lim])(,)([kkfxdydsdxyo说明:,0,0)1(kkts因此积分限必须满足!(2)注意到22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”.因此如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:),()(:rrL则)sin)(,cos)((rrf推广:设空间曲线弧的参数方程为)()(,)(),(:ttztytx则szyxfd),,(ttttd)()()(222xxd)(12d)()(22rrbaxxf))(,())(),(,)((tttf例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:)10(:2xxyL10xxxxd4110210232)41(121x)155(121上点O(0,0)1Lxy2xyo)1,1(B例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解:建立坐标系如图,RxyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23R0342sin22R)cossin(3R则)(sincos:RyRxL例3.计算其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解:在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性,得4022d)()(cos4rrr402dcos4ayox例4.计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:szyxd)(222ttkakad][2022222)43(3222222kaka线例5.计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知sxd2szyxsxd)(31d2222sad312aa2312332asyd2szd2内容小结1.定义szyxfd),,(2.性质Lsyxfd),(szyxgzyxfd),,(),,()1(21d),,(d),,(d),,()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由lsd)3((l曲线弧的长度)),(为常数szyxgLd),,(3.计算•对光滑曲线弧Lsyxfd),(•对光滑曲线弧Lsyxfd),(baxxf))(,(Lsyxfd),()sin)(,cos)((rrf•对光滑曲线弧tttd)()(22xxd)(12d)()(22rr)](),([ttf思考与练习1.已知椭圆134:22yxL周长为a,求syxxyLd)432(22提示:0d2sxyL原式=syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2)(2x分析:xyoEX:1.设C是由极坐标系下曲线,ar0及4所围区域的边界,求a4xy0yar提示:分段积分第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,ABLxy求移cosABFW“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABFABF)),(,),((),(yxQyxPyxF1kMkMABxy1)“大化小”.2)“常代变”L把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为F沿kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段上任取一点在kykx3)“近似和”4)“取极限”nkW1kkkkkkyξQxP),(),(nkW10limkkkkkky)ΔηQ(ξx)ΔηξP,,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中为n个小弧段的最大长度)2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若为空间曲线弧,记称为对坐标x的曲线积分;称为对坐标y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxsLLyyxQxyxPsFd),(d),(d)),,(,),,(,),,((),,(zyxRzyxQzyxPzyxF)d,d,(ddzyxs类似地,3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧LyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),((2)用L－表示L的反向弧,则LyyxQxyxPd),(d),(则•定积分是第二类曲线积分的特例.说明:•对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分)](),([ttP)(t)(ttd)](),([ttQ连续,存在,且有0)()(22tt且特别是,如果L的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad)](,[)](,[)(x对空间光滑曲线弧:类似有)(t)(t)(t)](,)(),([tttP,:)()()(ttztytx例1.计算,dLxyx其中L为沿抛物线xy2解法1取x为参数,则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxddd54d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy解法2取y为参数,则从点的一段.)1,1()1,1(BA到)1,1(B)1,1(Aoyx例2.计算其中L为,:,0aaxyyBAoaax(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为xyLd232a(2)取L的方程为ta202sinttad)sin(132334a则则nextyxo例3.计算其中L为(1)抛物线;10:,:2xxyL(2)抛物线(3)有向折线.:ABOAL解:(1)原式xxd4103(2)原式yyy222(3)原式102d)002(xxx)0,1(A)1,1(B2yx2xy10(yyd)410d)102(yynext例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)ttkR2022d)((2)的参数方程为ABzzyxxydddktt20dBAzyx试求力场对质点所作的功.其中为三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(LsyxQyxPdcos),(cos),(类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos例5.将积分化为对弧长的积分,解：oyxByyxQxyxPLd),(d),(22xx)1(x其中L沿上半圆周1.定义kkkknkyQxP),(),(limkk102.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L－表示L的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结3.计算,)()(:tytxL:ttttQttPd)](),([)](),([)(t)(t•对有向光滑弧•对有向光滑弧baxxyL:,)(:xxxQxxPbad)](,[)](,[)(x:,)()()(ttztytx)](,)(),([tttP)(t)(t)(t4.两类曲线积分的联系LyQxPddzRyQxPddd)](,)(),([tttQ)](,)(),([tttRtd•对空间有向光滑弧:)0,0,1(A)0,1,0(B)1,0,0(Coxyz1.已知为折线ABCOA(如图),计算提示:001d)1(yy10dx2)211(101d2x1yx1zyyxABddzyyBCddOAxd2.解:zxoyABzk222zyxkzjyixzkLzyxzzz