偏微分方程数值解期末试题及答案

偏微分方程数值解试题(06B)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A对称，定义)(),(),(21)(nRxxbxAxxJ，)()(0xxJ.若0)0(',则称称0x是)(xJ的驻点（或稳定点）.矩阵A对称（不必正定），求证0x是)(xJ的驻点的充要条件是：0x是方程组bAx的解解:设nRx0是)(xJ的驻点,对于任意的nRx,令),(2),()()()(2000xAxxbAxxJxxJ,(3分)0)0(',即对于任意的nRx,0),(0xbAx,特别取bAxx0,则有0||||),(2000bAxbAxbAx,得到bAx0.(3分)反之,若nRx0满足bAx0,则对于任意的x,)(),(21)0()1()(00xJxAxxxJ,因此0x是)(xJ的最小值点.(4分)评分标准:)(的展开式3分,每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：0)(,0)(),()('buaubaxfqudxdupdxdLu其中]),([,0]),,([,0)(min)(]),,([0min],[1baHfqbaCqpxpxpbaCpbax建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz形式和Galerkin形式的变分方程。解:设}0)(),,(|{11aubaHuuHE为求解函数空间,检验函数空间.取),(1baHvE,乘方程两端,积分应用分部积分得到(3分))().(),(vffvdxdxquvdxdvdxdupvuababa,),(1baHvE即变分问题的Galerkin形式.(3分)令badxfuqudxdupufuuauJ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz形式为求),(1*baHuE,使)(min)(1*uJuJEHu(4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题xuuuuGyxyuxuyyxx1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。（2）取3/1h，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就5/1h和Nh/1的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。解:(1)区域离散khyjhxkj,,差分格式为02221,1,2,1,1huuuhuuukjjkkjkjjkkj(5分)应用Tayloy展开得到,截断误差为)(][12444442hOyuxuhjk,其阶为)(2hO(3分)(2)未知量为TuuuuU),,,(22211211,矩阵形式为FAU,其中3/13/53/13/53/13/213/13/21,4110140110410114FA(4分)求解得到解为(3分)15/5215/215/202/1502/12/152/12LA=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]L=2.0000-0.5000-0.5000001.9365-0.1291-0.5164001.9322-0.55210001.8516u=0.66670.33330.66670.3333(3)矩阵为BIIBIIB,4114114B(5分)评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2)7分,方程4分,解3分.(3)5分,形式3分,B的形式2分四（20分）、对于初边值问题TttutuxxxuTtxbuxuatu0,0),1(),0(10),()0,(0,10,22（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶;（2）写出差分格式的矩阵形式（即FBUAUkk1的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性（3）建立六点对称格式(NicolsonCrank格式)并写出计算形式，应用Fourier方法（分离变量法）分析格式的稳定性。解:(1)区域离散,格式为kjkjxkjkjbuuhauu2211,(5分)应用Taylor展开得到,误差主项为)()(12)(214244222hOxuahtukjkj,阶为)(2hO(3分)(2)},21,{,rrrdiagBEA,(4分)稳定条件为2/1r(3分)(3)格式为)(2))1((11221kjkjkjkjxkjkjuubuuhauu,(3分)低阶项归入)(O中,格式是无条件稳定的.(2分)五（10分）、逼近0xutu的三层差分格式0221111huuuunjnjnjnj分析格式的稳定性解:计算形式为1111)(njnjnjnjuuuru(2分)此为三层格式,化为两层格式.令njnjuv1,则有njnjnjnjnjnjuvvuuru1111)((4分)令jhinnjjhinnjewvewu21,,代入格式,消去公因子,得到nnnnwwhirww211211011sin2(2分)放大矩阵为011sin2hirG,特征方程为11sin2||hirGE01sin22hir,ihrhr2sin44sin2222,1121,1|}||,max{|21的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即0sin4422hr.考虑到的变化,稳定条件为1r(2分)六（10分）、建立波动方程22222xuatu的初值问题的显格式，推导截断误差,推导格式稳定的必要条件.解:差分格式为njxnjnjnjuhauuu22221112,(3分)截断误差为)(121442442244hOhxuatunjnj,阶为)(22hO(3分)分析稳定性必要条件(4分)七（10分）、对于二维抛物型方程)(2222yuxuatu建立NicolsonCrank差分格式，指出截断误差阶，分析格式的稳定性。解:差分格式为)(121221njkynjkxnjknjkuuhauu(4分)误差阶为)(2hO(3分)放大因子为2sin42sin411),,(22hrhrG,恒稳定.(3分)八.用GalerkinRitz方法求边值问题1)1(,0)0(102uuxxuu的第n次近似)(xun,基函数nixixi,...,2,1),sin()(解:(1)边界条件齐次化:令xu0,0uuw,则w满足齐次边界条件,且0)1(,0)0(20wwxxLuLuLw(3分)第n次近似nw取为niiincw1,其中),...2,1(nici满足的GalerkinRitz方程为njxxcajniiji,...,2,1),(),(21(3分)又xdjxixijdxxjxidxxjxiijdxajijiji)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''jxixsinsin21由三角函数的正交性,得到jijiiaji,0,212),(22而]1)1[()(2)sin()1(),(3102jjjdxxjxxxx于是得到为偶数为奇数jjjjaxxcjjjj0)1()(8),(),(2232最后得到]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(nknkkxkxxu(4分)