2019中考数学压轴题及解析40例(3)

2019中考数学压轴题及解析40例（3）9.，在RT△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。假设以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如下图的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将RT△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。〔1〕求点C的坐标；〔2〕假设抛物线bxaxy2〔a≠0〕经过C、A两点，求此抛物线的解析式；〔3〕假设抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？假设存在，请求出此时点P的坐标；假设不存在，请说明理由。注：抛物线cbxaxy2〔a≠0〕的顶点坐标为abac，ab4422，对称轴公式为abx2解：〔1〕过点C作CH⊥x轴，垂足为H∵在RT△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB∴OB＝4，OA＝32由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝32∴∠COH＝600，OH＝3，CH＝3∴C点坐标为〔3，3〕〔2〕∵抛物线bxaxy2〔a≠0〕经过C〔3，3〕、A〔32，0〕两点∴baba3232033322解得：321ba∴此抛物线的解析式为：xxy322〔3〕存在。因为xxy322的顶点坐标为〔3，3〕即为点CMP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，因为∠BOA＝300，所以ON＝3t∴P〔3t，t〕作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E把tx3代入xxy322得：tty632∴M〔3t，tt632〕，E〔3，tt632〕同理：Q〔3，t〕，D〔3，1〕要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD即16332ttt，解得：341t，12t〔舍〕∴P点坐标为〔334，34〕∴存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为〔334，34〕10.如图，抛物线223yxx与X轴交A、B两点〔A点在B点左侧〕，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2、〔1〕求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；〔2〕P是线段AC上的一个动点，过P点作Y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；〔3〕点G抛物线上的动点，在X轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由、解：〔1〕令Y＝0，解得11x或23x∴A〔－1，0〕B〔3，0〕；将C点的横坐标X＝2代入223yxx得Y＝－3，∴C〔2，－3〕∴直线AC的函数解析式是Y＝－X－1〔2〕设P点的横坐标为X〔－1≤X≤2〕那么P、E的坐标分别为：P〔X，－X－1〕，E〔2(,23)xxx∵P点在E点的上方，PE＝22(1)(23)2xxxxx∴当12x时，PE的最大值＝94〔3〕存在4个这样的点F，分别是1234(1,0),(3,0),(47),(47)FFFF11.如图，抛物线254yaxax经过ABC△的三个顶点，BCx∥轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC、〔1〕求抛物线的对称轴；〔2〕写出ABC，，三点的坐标并求抛物线的解析式；〔3〕探究：假设点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB△是等腰三角形、假设存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由、解：〔1〕抛物线的对称轴5522axa〔2〕(30)A，(54)B，(04)C，把点A坐标代入254yaxax中，解得16a215466yxx〔3〕存在符合条件的点P共有3个、以下分三类情形探索、设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M、过点B作BQx轴于Q，易得4BQ，8AQ，5.5AN，52BM以AB为腰且顶角为角A的PAB△有1个：1PAB△、222228480ABAQBQ在1RtANP△中，222221119980(5.5)2PNAPANABAN1519922P，②以AB为腰且顶角为角B的PAB△有1个：2PAB△、在2RtBMP△中，222222252958042MPBPBMABBM25829522P，③以AB为底，顶角为角P的PAB△有1个，即3PAB△、画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于3P，此时平分线必过等腰ABC△的顶点C、过点3P作3PK垂直y轴，垂足为K，显然3RtRtPCKBAQ△∽△、312PKBQCKAQ、32.5PK5CK于是1OK3(2.51)P，12.如图，对称轴为直线72x的抛物线经过点A〔6，0〕和B〔0，4〕、〔1〕求抛物线解析式及顶点坐标；〔2〕设点E〔x，y〕是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形、求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？假设存在，求出点E的坐标；假设不存在，请说明理由、解：〔1〕由抛物线的对称轴是72x，可设解析式为27()2yaxk、把A、B两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0)4.2akak解之，得225,.36ak故抛物线解析式为22725()326yx，顶点为725(,).26〔2〕∵点(,)Exy在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326yx，∴Y《0，即－Y》0，－Y表示点E到OA的距离、∵OA是OEAF的对角线，∴2172264()2522OAESSOAyy、因为抛物线与x轴的两个交点是〔1，0〕的〔6，0〕，所以，自变量x的取值范围是1《x《6、根据题意，当S＝24时，即274()25242x、化简，得271().24x解之，得123,4.xx故所求的点E有两个，分别为E1〔3，－4〕，E2〔4，－4〕、点E1〔3，－4〕满足OE＝AE，所以OEAF是菱形；点E2〔4，－4〕不满足OE＝AE，所以OEAF不是菱形、当OA⊥EF，且OA＝EF时，OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是〔3，－3〕、而坐标为〔3，－3〕的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使OEAF为正方形、