北京中考数学24-25题

124．在ABC△中，AC=BC，90ACB，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．25．如图，直线1l：ykxb平行于直线1yx，且与直线2l：12ymx相交于点(1,0)P．（1）求直线1l、2l的解析式；（2）直线1l与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线2l上的点1B处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线1l上的点1A处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线2l上的点2B处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线1l上的点2A处后，仍沿平行于x轴的方向运动，……照此规律运动，动点C依次经过点1B，1A，2B，2A，3B，3A，…，nB，nA，…①求点1B，2B，1A，2A的坐标；②请你通过归纳得出点nA、nB的坐标；并求当动点C到达nA处时，运动的总路径的长．HF图2图1HFEBCDAEDBCA224.若21,xx是关于x的一元二次方程)0(02acbxax的两个根，则方程的两个根21,xx和系数cba,,有如下关系：acxxabxx2121,.我们把它们称为根与系数关系定理.如果设二次函数)0(2acbxaxy的图象与x轴的两个交点为)0,(),0,(21xBxA.利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：.444)(4)(22222122121aacbaacbacabxxxxxxAB请你参考以上定理和结论，解答下列问题:设二次函数)0(2acbxaxy的图象与x轴的两个交点为)0,(),0,(21xBxA，抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形.（1）当ABC为等腰直角三角形时，求;42的值acb（2）当ABC为等边三角形时，acb42.（3）设抛物线12kxxy与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且90ACB,试问如何平移此抛物线，才能使60ACB？25．已知抛物线22yxxa（0a）与y轴相交于点A，顶点为M.直线12yxa分别与x轴，y轴相交于BC，两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则MN，，，；(2)如图11，将NAC△沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线22yxxa（0a）上是否存在一点P，使得以PACN，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.324．如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，2tanB.（1）求证：AD=AE；（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.求证：AFEFDF2；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数333xy的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3,0），连结BC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点D，分别连结EA、EP．①若CP＝6，直接写出∠AEP的度数；②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ADP的度数；（3）在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度．EC与AP于点F，设△AEF的面积为S1，△CFP的面积为S2，y＝S1－S2，运动时间为t（t0）秒时，求y关于t的函数关系式．图1EBCAD图3EBCAD图2ECBADFPyOABC11x424．在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝42，3BC，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）2５．已知抛物线21yaxbx经过点A（1，3）和点B（2，1）．（1）求此抛物线解析式；（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；（3）过点B作x轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点,再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的2倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）24.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）FBADCEG图1FBADCEG图2FBACE图3D525.如图：抛物线经过A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的条件下，M为抛物线的对称轴上一动点，当MQ＋MC的值最小时，请求出点M的坐标．24．（本小题满分7分）直线CD经过BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且BECCFA．（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若90,90BCA，则EFBEAF（填“”，“”或“”号）；②如图2，若0180BCA，若使①中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．25．（本小题满分8分）已知抛物线22xxy．（1）求抛物线顶点M的坐标；（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上yxOQPDCBAABCEFDDABCEFADFCEB图1图2图36运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题.已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，90CAB，直线m过点O,过CBA、、三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点FED、、.(1)当直线m与BC平行时（如图1），请你猜想线段CFBE、和AD三者之间的数量关系并证明；(2)当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段CFBEAD、、三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．25．已知：如图1，等边ABC的边长为32，一边在x轴上且0,31A，AC交y轴于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F．（1）直接写出点CB、的坐标；（2）若直线01kkxy将四边形EABF的面积两等分，求k的值；（3）如图2，过点CBA、、的抛物线与y轴交于点D，M为线段OB上的一个动点，过x轴上一点0,2G作DM的垂线，垂足为H，直线GH交y轴于点N，当M点在线段OB上运动时，现给出两个结论：①CDMGNM②DCMMGN，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．mOFEDCBAABCDEFOmmABC(D)EFO图1图2图3725．如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（1，3），若把线段OA绕点O逆时针旋转120°，可得线段OB．（1）求点B的坐标；（2）某二次函数的图象经过A、O、B三点，求该函数的解析式；（3）在第（2）小题所求函数图象的对称轴上，是否存在点P，使△OAP的周长最小，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．已知：如图1，点P在线段AB上（AP＞PB），C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，正方形CPFG和正方形PDHK在直线AB同侧．（1）求证：△EHG是等腰直角三角形；（2）若将图1中的射线PB连同正方形PDHK绕点P顺时针旋转一个角度后，其它已知条件不变，如图2，判断△EHG还是等腰直角三角形吗？请说明理由．24．如图，已知抛物线C1：5)2(2xay的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点A的横坐标是1．（1）求p点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向左平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点A成中心对称时，求C3的解析式khxay2)(；（3）如图（2），点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标．三解答题20．解:21．解:22．解：（1）（2）⌒AOBCPMPAEBAxy－112－3－2－1123O8MKGFBCDAE25．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，AD=AB=2,点E是AB边上一动点(点E不与点A、B重合)，连结ED，过ED的中点F作ED的垂线，交AD于点G,交BC于点K,过点K作KM⊥AD于M．(1)当E为AB中点时，求DMDG的值；(2)若13AEAB,则DMDG的值等于；(3)若1AEABn（n为正整数），则DMDG的值等于（用含n的式子表示）．925、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：363yx交x轴、y轴于A、B两点，点M(m,n)是线段AB上一动点,点C是线段OA的三等分点．（1）求点C的坐标；（2）连接CM，将△ACM绕点M旋转180°，得到△A’C’M.①当BM=12AM时，连结A’C、AC’,若过原点O的直