132函数奇偶性的知识点及例题解析

函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做偶函数。一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf,那么函数)(xf就叫做奇函数。理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤ab)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤ab）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y=f[g(x)]是偶函数。复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有xfxf〔或1xfxf或0xfxf〕函数f（x）是偶函数；对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有xfxf〔或1xfxf或0xfxf函数f（x）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(xf与)(xf的关系。③、扣定义，下结论。⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。③若()fx为偶函数，则()()(||)fxfxfx。二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性：分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系.【例1】判断下列函数的奇偶性：(1).2()21;fxxx(2).223(),0;3xxfxxxxx解：()fx函数的定义域是()，，∵2()21fxxx，∴2()()21fxxx221()xxfx，∴2()21fxxx为偶函数。（法2—图象法）：画出函数2()21fxxx的图象如下：由函数2()21fxxx的图象可知，2()21fxxx为偶函数。说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。(2).解：由303xx，得x∈(－∞，－3］∪(3，+∞).∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.【例2】判断下列函数的奇偶性：(1).24();33xfxx(2).021()1xfxx。解：(1).由240330xx，解得2206xxx且∴定义域为－2≤x＜0或0＜x≤2，则2244();33xxfxxx.∴224()4()();xxfxfxxx.∴24()33xfxx为奇函数.说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。(2).由2010xx，解得01xx，∴函数定义域为0,1xRxx，又∵022111()011xfxxx，∴()0fx，∴()()fxfx且()()fxfx，所以022111()011xfxxx既是奇函数又是偶函数。【例3】判断下列函数的奇偶性：(1).(1),(0)()0,(0)(1),(0)xxxfxxxxx解析(1).函数的定义域为R，当0x时，0,()()(1)(1)();xfxxxxxfx当0x时，0,()0();xfxfx当0x时，0,()()1()(1)().xfxxxxxfx综上可知，对于任意的实数x，都有()()fxfx，所以函数()fx为奇函数。说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。2、抽象函数判断其奇偶性：【例4】已知函数()(0),fxxRx且对任意的非零实数1,2,xx恒有1212()()(),fxxfxfx判断函数()(0)fxxRx且的奇偶性。解：函数的定义域为(,0)(0,)，令121xx，得(1)0f，令121xx，则2(1)(1),(1)0,fff取121,xxx，得()(1)(),fxffx()(),fxfx故函数()(0)fxxRx且为偶函数。3、函数奇偶性的应用：(1).求字母的值：【例5】已知函数21()(,,)axfxabcZbxc是奇函数，又(1)2f，(2)3f，求,,abc的值.解：由()()fxfx得()bxcbxc，∴0c。又(1)2f得12ab，而(2)3f得4132ab，∴4131aa，解得12a。又aZ，∴0a或1a.若0a，则12bZ，应舍去；若1a，则1bZb=1∈Z.∴1,1,0abc。说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如f(－1)=－f(1)，得c=0。(2).解不等式：【例6】若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.解：画图可知f(x)＜0的解集为｛x｜－1＜x＜1｝，∴f(x－1)＜0，即－1＜x-1＜1，∴解集为｛x｜0＜x＜2｝.（3）函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3−bx−8，且f(−2)=10，求f(2).解：法一：∵f(−2)=(−2)5+(−2)3a−(−2)b−8=−32−8a+2b−8=−40−8a+2b=10∴8a−2b=−50∴f(2)=25+23a−2b−8=8a−2b+24=−50+24=−26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(−2)=−g(2)∴f(−2)+8=−f(2)−8∴f(2)=−f(−2)−16=−10−16=−26.8.f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2−x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x＞0时，xxxxxfxf22)]()[()()(,又f(0)=0，如图9.设定义在[−3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a−1)＜f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a−1)＜f(a),偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增∴f(|a−1|)＜f(|a|)必有|a−1|，|a|∈[0，3].