矩阵的合同-等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。2、矩阵等价的充要条件：AB.{PQAB同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得ABPTAPB成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则AB二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得1BPAP成立，则称矩阵A,B相似，记为~AB。2、矩阵相似的性质：~AB11~,~,~(,)|E-A|||,()(),TTkkABABABABEBABtrAtrBAB前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。②充要条件：~()()ABEAEB二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵12(,,,)nA，12(,,,)mB1、若向量组（12,,,m）是向量组（12,,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然()()rArB但不能得出AB。2、若m=n，两向量组（12,,,n）（12,,,m）则有矩阵A,B同型且()()~,,rArBABABABr()()ArBAB。3、若r()()ABArB两向量组秩相同，两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)nnAB综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。（二）、矩阵合同。相似，等价的关系。1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。2、合同、相似、等价之间的递推关系①相似等价：~ABA,B同型且()()rArBAB②合同等价：,ABAB同型且()()rArBAB③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以Ⅰ、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当~AB时，||||EAEB二次型()TfxXAX与()TgxXBX有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数ABAB即有~ABABABⅡ、存在一个正交矩阵P，即TPPE使得TPAPB即AB则有1~TBPAPPAPAB即有~ABABⅢ、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则~AB时有~ABABABⅣ、~()()ABrArB、()()ABrArB、()()ABrArB下面讨论()()rArB时~,,ABABAB成立的条件。由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知存在正交矩阵P时，有1TPP，则()()TrPAPrA记TBPAP则()()rArB此时~ABABAB即P为正交矩阵时，由()()~,,rArBABABAB（三）1、矩阵等价：①同型矩阵而言②一般与初等变换有关③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：①针对方阵而言②秩相等是必要条件③本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵②秩相等是必需条件③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵