专题72--离散型随机变量的期望与方差(理)(解析版)

1专题72离散型随机变量的期望与方差（理）专题知识梳理1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称V(X)=为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，V(X)越小，稳定性越高，波动性越小，其算术平方根为随机变量X的标准差.2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)V(aX+b)=a2V(X).(a，b为常数)3.两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)=p，V(X)=p(1−p).(2)若X服从二项分布，即X~B(n，p)，则E(X)=np，V(X)=np(1−p).(3)若X服从超几何分布，即X～H(n，M，N)时，E(X)＝__nMN__．考点探究考向1离散型随机变量的均值与方差【例】（2016·苏锡常镇二调）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；21[-E()]niiixXp()VX2（2）记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的概率分布与数学期望．【解析】（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，则2231319()444256PC．所以恰好摸4次停止的概率为9256.（2）由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3.044381(=0)()4256PCX，1341327(=1)()()4464PCX，22241327(=2)()()44128PCX，81272713(=3)125664128256PX，X的分布列为所以E(X)＝8127271315012325625625625632.题组训练1.某学校组建了由2名男选手和n名女选手组成的“汉字听写大会”集训队，每次参赛均从集训队中任意选派2名选手参加省队选拔赛.(1)若n＝2，记某次选派中被选中的男生人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布和数学期望；(2)若n≥2，该校要参加三次“汉字听写大会”，每次从集训队中选2名选手参赛，求n为何值时，三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值.【解析】(1)当n＝2时，X可能的取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，则随机变量X的概率分布如下表：X012P所以E(X)＝0×+1×+2×＝1.∴022224CCC16112224CCC23022224CCC16162316162316X0123P81256276427128132563(2)一次参加比赛全是男生或全是女生的概率为P＝＝.三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率为f(P)＝P(1−P)2＝3P3−6P2+3P，则f'(P)＝9P2−12P+3＝3(P−1)(3P−1)，易知当P＝时，f(P)取得最大值，所以＝，解得n＝2.2.某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元．活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止．(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．【解析】(1)设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元为事件M.则P(M)＝13×34＝14，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元的概率为14.(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金x可取0，m，m＋n，则P(x＝0)＝34，P(x＝m)＝14×23＝16，P(x＝m＋n)＝14×13＝112，E(x)＝0×34＋m×16＋(m＋n)×112＝m4＋n12.②先在乙箱中摸球，参与者获奖金h可取0，n，m＋n，则P(h＝0)＝23，P(h＝n)＝13×34＝14，P(h＝m＋n)＝13×14＝112，E(h)＝0×23＋n×14＋(m＋n)×112＝m12＋n3.E(x)－E(h)＝2m－3n12.故当mn＞32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当mn＝32时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当mn＜32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．考向2均值与方差的性质的应用【例】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1，2，3，4).现从袋中任取一个球，X表示所取球的标号.(1)求X的概率分布、均值和方差；(2)若Y=aX+b，E(Y)=1，V(Y)=11，试求a，b的值.22222CCCnn22-232nnnn13C1322-232nnnn134【解析】(1)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==，P(X=4)==.故X的概率分布为X01234P所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5.V(X)=(0−1.5)2×+(1−1.5)2×+(2−1.5)2×+(3−1.5)2×+(4−1.5)2×=2.75.(2)由V(Y)=a2V(X)，得a2×2.75=11，即a=±2.又E(Y)=aE(X)+b，所以当a=2时，由1=2×1.5+b，得b=−2.当a=−2时，由1=−2×1.5+b，得b=4.故或题组训练1.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=，k=1，2，3，4，5.求E(X+2)2，V(2X−1)，的值.【解析】因为E(X)=1×+2×+3×+4×+5×==3，E(X2)=1×+22×+32×+42×+52×=11，V(X)=(1−3)2×+(2−3)2×+(3−3)2×+(4−3)2×+(5−3)2×=×(4+1+0+1+4)=2，故E(X+2)2=E(X2+4X+4)=E(X2)+4E(X)+4=11+12+4=27，V(2X−1)=4V(X)=8，==.考向3离散型随机变量期望与方差的应用【例】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1－4100.999.110120CC1211120CC12012120CC11013120CC32014120CC151212011032015121201103201512120110320152-2ab，-24.ab，15(-1)VX15151515151551515151515151515151515(-1)VX()VX25(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P(A)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104，又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001.(2)该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10000ξ＋50000.盈利η＝10000a－(10000ξ＋50000)，盈利的期望为E(η)＝10000a－10000E(ξ)－50000，由ξ～B(104，10－3)知，E(ξ)＝10000×10－3，E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104＝104a－104×104×10－3－5×104.E(η)≥0⇔104a－104×10－5×104≥0⇔a－10－5≥0⇔a≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．题组训练1.因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi(i＝1，2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．(1)写出ξ1、ξ2的分布列；(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？【解析】(1)ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.ξ1、ξ2的分布列分别为：ξ10.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.156ξ20.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08(2)令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，P(A)＝0.15＋0.15＝0.3，P(B)＝0.24＋0.08＝0.32.可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大．(3)令η表示方案i的预计利润，则η1101520P0.350.350.3η2101520P0.50.180.32所以E(η1)＝14.75，E(η2)＝14.1，可见，方案一的预计利润更大．2.一个摸球游戏，规则如下:在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球.参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次.参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球:当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次、2次、3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍、1倍、k倍的奖励(k∈N*)，且游戏费仍退还给参加者.记参加者玩1次游戏的收益为X元.(1)求概率P(X=0)的值；(2)为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值.【解析】(1)事件“X=0”表示“有放回地摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P(X=0)=3×16×(56)2=2572.(2)由题意得，X的可能值为k，−1，1，0，且P(X=k)=(16)3=1216，P(X=−1)=(56)3=125216，P(X=1)=3×(16)2×56=572，P(X=0)=3×16×(56)2=2572，结合(1)知，参加游戏者的收益X的数学期望为E(X)=k×1216+(−1)×125216+1×572+0×2572=𝑘-110216(元)，为使收益X的数学期望不小于0元，所以k≥110，即kmin=110.故k的最小值为110.3.某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．7(1)求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；(2)设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记ξ＝||X－Y，求随机变