二重积分计算课件

二重积分的概念及计算主要内容：1.二重积分的定义。2.二重积分的性质。3.直角坐标系下二重积分的计算。一、二重积分的概念1.曲顶柱体体积曲顶柱体的体积可以这样来计算:设z=f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D上的非负连续函数。称以曲面z=f(x,y)为顶，xy面上的区域D为底，以通过区域D的边界且平行于z轴的柱面为侧面的柱体为曲顶柱体。用任意平行于坐标轴的直线网将区域M分成n个小区域σi,以Δσi表示第i个小区域σi的面积。则直线网把所求的曲顶柱体分成n个小的曲顶柱体，在σi内任取一点(ξi,ηi)，以f(ξi,ηi)为高的小平顶柱体体积为f(ξi,ηi)Δσi，当σi的直径足够小，即分割无限细时，f(ξi,ηi)Δσi就近似等于以σi为底的小曲顶柱体的体积。从而有：iiniiniifVV),(11如右图所示：令λ=max{di|di为σi的直径}，λ→0时，niiiif1,若极限存在，其极限值就是曲顶柱体体积，即niiiifV10,lim此类和式极限问题在物理学和工程技术中经常遇到，称为二重积分问题。下面给出二重积分定义：2.二重积分的定义即设z=f(x,y)是有界闭区域D上的二元函数,将区域D任意分成个n小区域(简称子域)σi，以Δσi表示第i个子域σi面积。在每个σi上任取一点(ξi,ηi)，niiiif1,作和式。如果当各子域的直径中的最大λ值趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在闭区域D上的二重积分，dyxfD,记作，niiiiDfdyxf10,lim,叫做积分和。niiiif1,其中z=f(x,y)叫做被积函数,f(x,y)dσ叫做被积表达式,dσ叫做面积元素,x与y叫做积分变量,D叫做积分区域,称为二重积分号,与被积函数和积分区域有关。dxdyyxfD,二重积分也可记为有界闭区域上的连续函数一定可积。注1:二重积分与积分与区域D的分法无关，与(ξi,ηi)点取法无关，注2：注3：二、二重积分的性质DDdyxgdyxf),(),(则DDdyxfdyxf|),(||),(|且DDdyxfkdyxkf),(),()1(DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),()],(),([)2(DDDdyxfdyxfdyxf12),(),(),()3((4)如f(x,y)≤g(x,y)且都可积，(5)若f(x,y)可积，则|f(x,y)|可积，(其中σ是积分区域D的面积)(6)若f(x,y)在D上可积，DMdyxfm),((7)二重积分的中值定理设函数f(x,y)在闭区域D上连续,Dfdyxf),(),(43322edeeDyx在圆域1≤x2+y2≤4上根据中值定理有关系：且m≤f(x,y)≤M，则则在D上至少存在一点(ξ,η),σ是D的面积,使得例如：三二重积分的计算方法1.矩形区域上的二重积分设f(x,y)在矩形区域上是连续且可积，dycbxaDbadcdcbadxyxfdydyyxfdxdyxf),(),(),(3020:,)2(122yxDdxdyyxyxD计算例解：30222022)2()2(dyyxyxdxdxdyyxyxD202)9296(dxxx则有2023]9492[xxx=432.一般区域的的二重积分：(1)积分区域D为X－型：bxaxyx,)()(21φ1(x),φ2(x)在区间[a,b]上连续。则Dbaxxdyyxfdxdyxf)()(21),(),((2)积分区域D为Y－型：dycyxy),()(21ψ1(y),ψ2(y)在区间[c,d]上连续。X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.X型区域图示：Y型区域图示：然后利用积分区域可加性求之。若积分区域D既不是X型区域，又不是Y型区域，则可把D分成几部分，使每个部分是X型区域或是Y型区域，dxyxx210102]1[102)1(dxx221010:14xyxDdxD，其中计算例dyxdxdxxD101022211解：32例5计算，其中D是由直线y=x,y=1与x=0所围成的区域。deDy2解：易求出由直线y=x,y=1与x=0交点坐标为A(1,1),B(0,1),C(0,0),10][212yedxedydeyyDy10022100][2dyxeyydyyey102若先对y积分，2ye显然无法积分，因此先对x积分)1(211e例6计算，其中D是由直线y=2x,x=2y与y=3–x所围成的区域。DdxyxxD2211:xyxxD3221:与可将区域划分分两个子区域积分：DDDdxdydxdyd12xxxxdydxdydx322122101021)233()22(dxxdxxx212102]433[]43[xxx解：23改变积分的次序。xdyyxfdx1010),(ydxyxfdy1010),(原式解：有时借助图形较方便。补充例题注意：在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，即要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数z=f(x,y)的特性。解决此类问题，小结：1.二重积分定义。2.二重积分性质。3.直角坐标系下二重积分的计算。(1)矩形区域上的积分。(2)X型区域上的积分。(3)Y型区域上的积分。