高2017届极坐标与参数方程二轮专题复习资料

11．极坐标和直角坐标的互化公式如图所示，设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0）2.直线与圆的极坐标方程(1)直线的极坐标方程①过极点倾斜角为α的直线：θ＝α(ρ∈R)；②过A(a，0)(a0)且垂直于极轴的直线：ρcosθ＝a；③过A)2,(a(a0)且平行于极轴的直线：ρsinθ＝a.(2)圆的极坐标方程①圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R；2②圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acosθ；③圆心在点)2,(a处且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ，0≤θ≤π.(1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．(2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．3．常见的参数方程(1)直线的参数方程若直线过(x0，y0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，其中参数t的几何意义是直线上定点P0到动点P的有向线段P0P的数量，若动点P在定点P0的上方，则t0；若动点P在定点P0的下方，则t0；若动点P与定点P0重合，则t＝0.定点P0到动点P的距离是|P0P|＝|t|.(2)圆的参数方程若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为:x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数)．(3)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为:x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．(4)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的参数方程为:x＝acosθ，y＝btanθ(θ为参数)．(5)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为:x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)．4．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝t1＋t22；3(2)|PM|＝|t0|＝t1＋t22；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.1．(2016·北京，11，易)在极坐标系中，直线ρcosθ－3ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝________．2．(2015·广东，14，易)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，则点A到直线l的距离为________．3．(2015·安徽，12，易)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值是________．4．(2013·天津，11，易)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为4，π3，则|CP|＝________.5．(2014·重庆，15，易)已知直线l的参数方程为x＝2＋t，y＝3＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0，0≤θ2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．6．(2013·课标Ⅰ，23，10分，中)已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．极坐标与直角坐标的互化在高考中经常出现，在课标卷中题型为解答题，难度为中低档．4在复习中要弄清极轴、极角、极坐标等相关概念，其中掌握极坐标和直角坐标互化的公式是解题的关键．1(2015·课标Ⅰ，23，10分)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．题(1)可直接将公式代入将直角坐标方程化为极坐标方程；题(2)可将θ＝π4代入C2的极坐标方程求出极径，再求出|MN|，最后得三角形的面积．(2016·吉林长春二模，23，10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．极坐标与直角坐标互化的方法(1)将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)即可．在[0，2π)范围内，由tanθ＝yx(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可．(2)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以)ρ等技巧．注意：极坐标下点的坐标表示不唯一．5曲线的极坐标方程在高考中经常考查，主要有以下几个命题角度：(1)求曲线的极坐标方程；(2)在极坐标下求点到直线的距离；(3)在极坐标下求线段的长度．题型多为解答题，属中低档题．2(2014·辽宁，23，10分)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换、椭圆的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识和基本方法．解题(1)可根据伸缩变换公式得出变换后的曲线(椭圆)方程，再写出其参数方程；解题(2)时先求出直线的直角坐标方程，然后再化为极坐标方程．(2016·辽宁五校联考，23，10分)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋cosφ，y＝sinφ(φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋3cosθ)＝33，射线OM：θ＝π3与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．61．(2016·湖南益阳一模，23，10分)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．2．(2016·河南郑州一模，23，10分)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．3．(2016·福建泉州质检，21(2)，7分)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．4．(2015·贵州遵义一模，23，10分)已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝364cos2θ＋9sin2θ.(1)若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；(2)若P(x，y)是曲线C上的一个动点，求3x＋4y的最大值．75．(2015·辽宁大连一模，23，10分)已知在极坐标系中点C的极坐标为2，π3.(1)求出以点C为圆心，半径为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．1．(2014·安徽，4，易)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B．214C.2D．222．(2015·湖北，16，中)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________．3．(2016·课标Ⅰ，23，10分，中)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝acost，y＝1＋asint(t为参数，a0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；8(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.4．(2016·课标Ⅱ，23，10分，中)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率．5．(2016·课标Ⅲ，23，10分，中)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．6．(2014·福建，21(2)，7分，易)已知直线l的参数方程为x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．97．(2014·江苏，21C，10分，易)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝1－22t，y＝2＋22t(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．8．(2013·课标Ⅱ，23，10分，中)已知动点P，Q都在曲线C：x＝2cost，y＝2sint(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．9．(2015·湖南，16(2)，6分，中)已知直线