实变函数第三章习题答案

.*.1EmE有界，则证明：若,,1iniibaIE有界区间有界，所以证明：由于于是满足,EI.)(**1iiniabIImEm有界E)},({sup)(,qpdEEqpErU),0(有界邻域EI有界区间，则对是直线上一有界集，设0*.3EmE.*,),*,0(00cEmEEEmc使得.],[EbaE以是直线上一有界集，所证明：由于],[)()],([*)(],,[baxfExamxfbax在，下证令对.连续)],([*)],([*)()(00ExamExamxfxf],[*]],[[*00xxmExxm，有当，对000,,0],,[xxxbax.0xx)]],([)],[([*)],([*00ExxExamExam),],([*)],([*00ExxmExam,)()(00连续在左连续，故在同理可证xxfxxf.)(0右连续在即xxf知，对由连续函数的介值定理,0)}({*)(Eamaf使得],,[),,0())(),((*baEmbfafc.)],([)(*cEamf.,],[0*0cEmEEaE使得即又连续单增在从而.)](,[)(baxf，0*)],([*)(EmEbambf集，是一些互不相交的可测设nSSS,,,.421.)(),,2,1(1*1*niiiniiiEmEmniSE，证明：，互不相交可测，证明：由于iinSESSS,,,21知，及定理，所以由1.2.212211CSSESE.)(2*1*21*EmEmEEm，可测，，则由设nnnniiiniSESEmEm11*1-1*)(，得niniiniCSSE1-11-1ninininiiniEmEmEEmEm*1-1*1-1*1*)(])[()(.1**11*niinniiEmEmEm集合作成集合类的基证明：直线上所有可测.8).()(势基数等于线上所有集合类的势数},{},{11REEREE可测集证明：设..下证，即有则，有，且对由于康托集00000,,PEmPcPP.~**使得，即证.},{.0*0*则令PEEmE)(xfyx111010~RPfRP：，即由于,}{})({~}{110*REEREfEPEE于是.*从而.故为可测集，且则证明：若nnnnEEmlim,.91*.0)lim(nnEm)()()lim(0*1**nNnnNnNnnEmEmEm收敛，即级数证明：由于1*1*,nnnnEmEm所以),(0*NEmNnn.0)lim(lim,0)lim(*nnnnnnEmEEm可测，且故于是0limlim*1*1*ninnninnnnEmEmEm存在收..5型集为型集为证明：GCFFF),(闭型集为证明：iiIiFaIFFFF).,()(开iiIiiIiCFaICFFCCF.型集为GCF..6型集型集又是证明：开集、闭集既是GF，闭知开，由第一章习题证明：设)(271iiiFFGG..1型集又是，故又型集是即GGGGFGi.型集型集又是由对偶性知闭集既是GF.)(,)().1(.10可测上可测在证明：rfEQrExf上可测？是否在可测，若对ExfrfEQr)()(,).2(上可测？是否在可测，若对ExfafERa)()(,).3(1”“证明：).1(,1Ra”“可测，所以由于对)(,rfEQr.)(上可测在故Exf，有arnarnn),(a[(nr上可测，所以对在由于Exf)(.)(,可测afERa.)(,可测特别地，对rfEQr)(afE且).(1nnrfE：严格单增有理数列}{nr可测，)(afE.)()(,).3(1上可测在可测，推不出对ExfafERa令，如取不可测集.]1,0(0E，00,]1,0(,)(ExxExxxf即或为单元素集或为则对},{)](1,0(,1aafRa)(,)0](1,0(.)](1,0(0xfEfaf从而不可测但恒可测.]1,0(上不可测在在可测，更推不出知对由)()(,)3().2(xfrfEQr.上可测E上的收敛点集，则对在为证明：设ExfEn)}({0收敛，即)}({,000xfExn有对时使得当对,1,,1,1pNnNk.1)()(00kxfxfnpn).1(1110kffEEnpnpNnNk于是)()(,1,1xfxfpnEnpn对上的可测函数列，所以上的可测，故在从而上的可测在ExfxfEnpn)()(,.)}({.00也可测上的发散点集在于是可测EEExfEn为由于)}({xfn它的收敛上的可测函数列，证明为设Exfn)}({.12.测集点集和发散点集都是可,]1,0[,1,1)(]1,0[.13ExExxfE，令设不可测集么？可测，为什是否在可测，是否在问]1,0[)(]1,0[)(xfxf,0a解：由于对Efaf）（）（0]1,0[]1,0[.]1,0[)(不可测在不可测，所以xf.]1,0[)(]1,0[1)(可测在；所以，但xfxxf.00mE定理，所以由于证明：由于RieszFExfxfn.)()(ExfxfExfxfnnn于，且于设e.a)()()()(.191.e.a)()(),2,1(Exfxfnn于，证明：，所以于又),2,1(e.a)()(1nExfxfnn.0)(1nnffmE})({),2,1()()(01xfnEExfxfnnn，即于由于.0)(.e.a)()(ffmEExfxfiinn于是于子列知，，则记))(()(110nnnnffffEEi收敛子列单增；又上关于在nEE0.e.a)()(Exfxfn于故.)()()()(00EExfxfEExfxfnni于，于是于ExgxfExfxfnnn于，且于设e.a)()()()(.20.)()(),2,1(Exfxgnn于，证明：，有，所以对于证明：由于0)()(Exfxfn.0)(010mEgfEEnnn，则记，且有对)()(,0xgxfEExnn))(()()(00fgEEfgEfgEnnn.0)(limffmEnn.0)(e.a)()(nnnngfmEExgxf，所以于又，)())((000ffEEffEEEnn),(0)()(0nffEmmEfgmEnn.0)(limfgmEnn即.)()(Exfxgn于故上在上单调，则在证明：若],[)(],[)(.11baxfbaxf.可测上在上单调，所以在证明：由于],[)(],[)(baxfbaxf上的间断点集，在是设的间断点至多可数个],[)(.baxfE连续，上又在可测集可测，且则)(],[.0xfEbamEE故上可测在又上可测在从而,)(;],[)(ExfEbaxf.],[)(上可测在baxf上为上的连续函数，是设],[)(),()(.15baxgxf.],[)]([上的可测函数为的可测函数，则baxgf函上可测，所以存在简单在证明：由于],[)(baxg设数列].,[),()(baxgxn.],[,)()(1)()(niminininEbaExcxn，，，)(1)()(],[,)())((niminininEbaExcfxfn),(],[))}(({在上的简单函数列，又也为即fbaxfn连续，所以，))(())(lim())((limxgfxfxfnnnn则.],[)]([上的可测函数为故baxgf，])([afEx，上的连续函数，则对为闭集设RaExf)(.16.)()(恒为闭集和afEafE.)().(axfExnxxnnn，且即得即连续在上连续，从而在由于闭，所以又,.xfEfExE.)lim()(lim)(axfxfxfnnnn).(afEx于是.)](闭证明：先证afE.)(.)(闭同理可证闭故afEafE，使互异)(}{afExn