最新中考数学共边定理及其应用与推广

1共边定理及其应用与推广几何一直是初中数学的重难点，初中几何主要研究边角关系，并要求对边，角关系进行严格的证明、推理.学生普遍感觉几何好学但解题难，难在思维的深度，尤其难在辅助线的添加，许多几何题目往往受制于这神来一笔的辅助线.如何攻克这座堡垒呢?本文将介绍共边定理这一用途极广的几何解题工具，以供广大读者参考.一、共边定理共边定理建立在共边三角形的基础上，它是指，共边三角形的面积比等于第三个顶点的连线被公共边所截得的线段比.定理如图1，设直线AB与CD交于M，则有ABCABDSCMSDM(共有四种情形).这个定理的证明基于一个基本的事实:共高三角形的面积比等于底的比.具体证明如下.证明ABCABCACMADMABDACMADMABDSSSSSSSSggABCMAMCMAMDMABDMgg.由于共边定理有四种位置情形却对应同一个比值，所以，如何选择两个合适的三角形，是运用共边定理解决间题的关键，而图形的选择差异使得解法往往不唯一共边定理虽然是对等高等底三角形面积相等这一基本性质的推广，但是它的用途却相当的广泛.它在线段和面积之间建立了天然的桥梁，由此可利用这两种几何量的反复转化，证明一大批几何问题，尤其是在没有特别条件下只涉及直线相交、平行、同一直线上的线段比以及面积比等问题中，运用共边定理会得到易想不到的效果.下面通过几个例题来说明共边定理的应用.二、共边定理的应用1.有关线段的问题例1凸四边形ABCD的两边,ADBC延长后交于点K；两边,ABCD延长交于L，对角线,BDAC延长后分别与直线KL交于,FG，如图2.求证:KFKGLFLG.2该题的叙述比较复杂，但其实不看文字，只看图也是一目了然的，即为几条直线相交后证同一直线的线段比.此题是数学大师华罗庚在《1978年全国中学生数学竞赛题》前言中提到的有趣的几何题.题目的证明较难，难点在于图中没有相似三角形和全等的三角形，只有几条线段相交的条件.但此题倘若利用共边定理来解决会变得很简单，具体证法如下.证明KBDKBDKBLLBDKBLLBDSSSKFLFSSSgACDACKACLACDSSCDAKCLADSSggACKACLSKGSLG注该题将共边定理面积比用于证明线段成比例，相反也可以利用线段成比例来证明面积比.2.有关面积的问题例2在ABC的三边,,BCCAAB上，分别取点,,XYZ，使13CXBC，13AYAC，13BZAB.连,,AXBYCZ三条线，围成LMN，如图3.问LMN的面积是ABC面积的几分之几?解由于LMN与ABC不是公边三角形，为计算LMN，将其转化为与ABC公边的三角形MBC，NCA，LMN来计算.先求MBCS.ABCABMBCMACMMBCMBCSSSSSS712AYAZCYBZ.又27NCAABCSS，3∴27MBCABCSS.同理，27LABABCSS，∴17LMNABCSS.3.有关平行的问题现在我们反过来思考，共边定理的前提是直线AB与CD交于一点M，但是如果AB与CD不相交呢，会有什么情况?首先会不会有AB与CD不相交的情况呢?当然会.当ABCABDSS，且CD与AB同侧的时候，它们会平行从而不相交，如图4:通过上述反向的思考得到了一个新的思路，即把共边三角形与平行直线联系到一起了.这个几何事实描述为:若点,CD在AB的同侧，//CDAB的充要条件为ABCABDSS.有了这一定理就可以不用平行线的性质来证明两直线的平行，张景中教授把这种方法称为“平行线面积判定法”.下面我们通过一个例题来说明其应甩例3已知线段AB与一条平行于AB的直线l，取不在AB上也不在l上的一点P，作,PAPB分别与直线l交于点,MN，连结,ANBM交于O，连PO交直线AB于Q，如图5.求证:AQBQ.证明：AOPAOPAOBPOBAOBPPOBSSSAQBQSSSgPMNAMNBMNMNPSSPNAMNBPMSSgg1AMNBMNSS.注在证明最后一步中运用了//ABl，推导出了AMNBMNSS.4实际上此题还解决了在平面内给定两点,AB和平行于AB的一条直线，仅利用没有刻度的直尺如何作出AB的中点的操作方法.类似的方法还可以证明出PQ平分l.如此一来，便得到了梯形中常见的一个结论，即延长梯形两腰的交点与梯形对角线的连线平分梯形的上下底.此外，在这个过程中还有一个结论1PNAMNBPMg，实际上得到了平行线分线段成比例定理.共边定理不仅能推导出以上的定理，它还可以推导出相似形基本定理，平行四边形的性质，三角形重心的性质，“共角定理”等.还有一些用传统方法比较难证的定理如“赛瓦定理”，“帕普斯定理”，“德沙格定理”等等，在这里就不一一赘述了，有兴趣的读者可以尝试证明.三、共边定理的推广下面将共边定理进行空间上的推广，即得到共面定理.共面定理：设直线PQ与平面ABC交于一点S，如图6，则有PABCQABCVPSVQS.该定理可用于立体几何的计算与证明.此外，共边定理还可以用于解决应用题.例如在行程问题当中，时间不变就等价于三角形中一的高不变，一般涉及正比例的应用题都可以考虑用共边定理来解决，而不仅限于解决平面几何的问题.那么，相比传统方法，共边定理有哪些优点呢?(1)可接受性共边定理基于一个基本的事实，即共高三角形的面积比等于底的比.这个道理在小学就接触过，学生学起来简单，相比相似三角形和全等三角形，需要判定相似或全等的条件比较多，学生的可接受性较强一(2)通用性平面几何中的基本图形是三角形，从统计学的角度来看，一般几何图形中出现全等三角形或相似三角形的可能性太小了.为了能利用相似三角形和全等三角形性质来解题，就需要添加辅助线，但辅助线的添加往往无章可循，而共边三角形却比比皆是，因而它的性质具有通用性.(3)对等性利用相似三角形和全等三角形性质解决问题，需要三个判定条件证明全等或相似.相比之下，共边定理则是一个条件对应一个结论，正是这种对等性，往往能简化几何证明的过程.在这里需要说明的是，共边定理的应用并不排斥传统几何方法中那些有效的方法，相反，它能为传统方法提供更简捷的证明思路一个定理的用途越广，就越能凸显该定理的重要性从上述的例题可以看出，共5边定理的作用不容小觑，掌握好这个定理，对初中几何学习是大有帮助的.