线性代数2012期末考试题及答案

课程考核试题卷(A卷)试卷编号第1页共7页（2011至2012学年第__2_学期）课程名称：线性代数A考试时间：110分钟课程代码：7100059试卷总分：100分考试形式：闭卷学生自带普通计算器:否题号一二三四五六七八九十十一十二总分得分评卷教师一、单项选择题（每小题3分，共15分）1、A和B均为n阶矩阵，且222()2ABAABB，则必有（）AAE；BBE；CAB.DABBA。2、设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A.A=0B.BC时A=0C.A0时B=CD.|A|0时B=C3、设A是sn矩阵，则齐次线性方程组0Ax有非零解的充分必要条件是()A.A的行向量组线性无关B.A的列向量组线性无关C.A的行向量组线性相关D.A的列向量组线性相关4、若1x是方程AXB的解，2x是方程AXO的解，则（）是方程AXB的解（cR）A.12xcxB.12cxcxC.12cxcxD.12cxx5、设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为0二、填空题（每小题3分，共15分）1、已知向量T)4,2,3,1(与Tkk)2,3,1,(正交，则k_.2、11101=.3、设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为.4、如果21,XX都是方程OXAnn的解，且21XX，则nnA；5、设向量组123100130121TTT(,,),(,,),(,,)线性（填相关或无关）得分得分年级专业：教学班号：学号：姓名：装订线年级专业：教学班号：学号：姓名：装订线第2页共4页三、（10分）计算行列式3112513420111533.四、（10分）已知2()41fxxx，120210002A，求()fA。得分得分第3页共4页五、（10分）求齐次线性方程组12341234123423503240230xxxxxxxxxxxx的一个基础解系及其通解.六、（12分）判定二次型222123121323444fxxxxxxxxx的正定性，并求该二次型的秩。得分得分第4页共4页七、（10分）求向量组：11211，22521，33574，416179的秩及一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.八、（12分）已知矩阵相似与,00030000300011011xBA（1）求x；（2）求可逆矩阵P，使得1PAPB。九、（6分）设3阶矩阵A的特征值为2（二重），-4，求112A。一、单项选择题（每小题3分，共15分）评分标准：选对得3分，不选或选错得0分得分得分得分第5页共4页1、D；2、D；3、D；4、A；5、C二、填空题（每小题3分，共15分）：评分标准：填对得3分，不填或填错得0分1、24；2、；11013、-2；4、0；5、无关三、计算行列式（12分）1、原式=40；…………10分四、（10分）解：2340430004A………4分4804840008A………………8分012012000011fA033123110…………10分五、（12分）解：齐次线性方程组的系数矩阵A为：12341234123423503240230xxxxxxxxxxxx2315123110113124~0777~0111123107770000A…4分一般解为：1342343344xxxxxxxxxx（3x为自由未知量）……………………6分第6页共4页故齐次线性方程组的通解为X12121111=k+k(k)1001k为常数…………10分六、（12分）解：二次型对应的矩阵为122212221A………4分110；………2分123021………2分122212130221………2分所以矩阵的秩为3，即二次型的秩为32分七、（10分）解：向量组对应的矩阵为12341231105025560110()~12717000111490000………3分所以矩阵的秩为36分所以124,,为一组极大无关组8分3125………10分八、（8分）解：解：（1）、由于A与B相似，则()()trAtrB。因为()5trA，()3trBx，则2x。………4分（2）、因为B的特征值为2,3,0321，所以A的特征值为2,3,0321。第7页共4页当10时，它对应的特征向量为Ta)0,1,1(1当对于23时，它对应的特征向量为Ta)1,0,0(2当32时，它对应的特征向量为Ta)0,1,1(3。取123101,,101010Pa，则1PAPB。………12分九、（6分）证明：112A=-8112A=……6分