解析几何的诞生

解析几何的诞生主讲人：周思波数学与软件科学学院数学简史解析几何产生的背景天体运行······炮弹弹道透镜形状测经纬度几何的弱点代数的发展运动的观点巴比伦奥雷姆解析几何是17世纪最伟大的数学成果之一，它的产生有着深刻的原因。外部原因内部原因古代早有坐标确定位置的思想数学与软件科学学院数学简史解析几何的创建者费马Fermat1601——1665法国人笛卡儿Descartes1596——1650法国人数学与软件科学学院数学简史笛卡尔生平1596年3月31日生于法国土伦省莱耳市的一个贵族之家1612年到普瓦捷大学攻读法学，四年后获博士学位1618年投笔从戎，想借机游历欧洲，开阔眼界。1621年回国，时值法国内乱，于是他去荷兰、瑞士、意大利等地旅行1625年返回巴黎1628年移居荷兰1649年冬，应瑞典女王克里斯蒂安的邀请，来到了斯德哥尔摩，任宫廷哲学家，为瑞典女王授课1650年2月11日病逝数学与软件科学学院数学简史笛卡尔的解析几何当时，代数还是一门比较新的科学，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。在笛卡儿之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。笛卡儿站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。数学与软件科学学院数学简史笛卡儿的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学”。任何问题——数学问题——代数问题——方程求解。数学与软件科学学院数学简史坐标系他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置，用坐标来描述空间上的点。数学与软件科学学院数学简史1637年他发表了最有名的著作《谈谈正确运用自己的理性在各门学问里寻求真理的方法》，通常简称为《方法论》。在《方法论》中附有三篇论文：《折光学》、《气象学》和《几何学》。在这三篇论文中笛卡尔给出了用自己的方法做出发明的例子。《谈谈方法》：《笛卡尔几何学》：数学与软件科学学院数学简史《几何学》第一卷讨论尺规作图。笛卡儿把几何问题化成代数问题，提出了几何问题的统一作图法。为此，他引入了单位线段，以及线段的加、减、乘、除、开方等概念，从而把线段与数量联系起来，通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段间的关系作图。数学与软件科学学院数学简史《几何学》第二卷是曲线的性质。笛卡儿用这种新方法解决帕普斯问题时，在平面上以一条直线为基线，为它规定一个起点，又选定与之相交的另一条直线，它们分别相当于x轴、原点、y轴，构成一个斜坐标系。那么该平面上任一点的位置都可以用(x,y)惟一地确定。帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定方程。笛卡儿指出，方程的次数与坐标系的选择无关，因此可以根据方程的次数将曲线分类。数学与软件科学学院数学简史帕普斯问题设l1，l2，l3和l4是四条给定直线，过平面上一点C引四条线各与已知直线交成已知角，设交点为P、Q、R和S，要求满足CP·CR＝CS·CQ的点的轨迹．l1l4l3l2FEDSRQPCA数学与软件科学学院数学简史帕普斯问题的解答以l1为基准线，A为原点，设AP=x，PC=y，由于三角形APE所有角给定，所以AP与PE之比一定.设zbxyCEzbxPE,所以三角形ESC中，设CE:CS=z:c，则2zbcxzcyCSl1l4l3l2VUFEDSRQPCA通过类似的方法，可求得CR，CQ。这样，CP、CQ、CR、CS都表示成关于x和y的一次式了，把这四个一次式代入得C点的轨迹方程为y2＝Ay＋Bxy＋Cx＋Dx2，其中A,B,C,D是由已知量组成的代数式.AP:PE=z:b.数学与软件科学学院数学简史笛卡儿接着指出：“如果我们逐次给线段y以无限多个不同的值，对于线段x也可找到无限个值．这样被表示出来的C点就可以有无限多个，因此可把所求的曲线表示出来．”这就在变量思想指导下，把数与形统一起来了．这是数学史上一项划时代的变革，从此开拓了变量数学的新领域．l1l4l3l2VUFEDSRQPCA数学与软件科学学院数学简史《几何学》第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。笛卡儿指出，方程可能有和它的次数一样多的根，还提出了著名的笛卡儿符号法则：方程正根的最多个数等于其系数变号的次数；其负根的最多个数（他称为假根）等于符号不变的次数。笛卡儿还改进了韦达创造的符号系统，用a,b,c,…表示已知量，用x,y,z,…表示未知量。数学与软件科学学院数学简史纵观笛卡儿的《几何学》，虽篇幅不过百页，却已奠定了解析几何的基础．笛卡儿把曲线与方程相联系的观点，不仅是曲线理论而且是整个数学思想的重大突破．他还进一步认识到，如果两条曲线以同一个坐标系为参考，则其交点由它们的方程之解来确定．这种思想远远高出了他的同时代人，正如数学史家芬克所说：“从来都没有谁作过任何尝试，企图把不同次数的几条曲线同时表示在一个坐标系中…甚至连费马也没有尝试过．笛卡儿所系统完成的恰恰是这件事．”数学与软件科学学院数学简史费马生平1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。1615年，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。1631年，费马毕业返回家乡以后，当上了图卢兹议会的议员。1642年，进入了最高刑事法庭和法国大理院主要法庭。1646年，费马升任议会首席发言人，以后还当过天主教联盟的主席等职。1665年去世。数学与软件科学学院数学简史费马的数学成就费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌。他不愧是一位数学天才，尽管数学工作仅占据了他的一部分时间，他那丰硕的成果却令人目不暇接．被誉为“业余数学家之王”。17世纪的数论几乎是费马的天下；在牛顿和莱布尼茨之前，他为微积分的创立作了大量的准备工作，取得十分出色的成果；他和帕斯卡一起，分享了创立概率论的荣誉；在解析几何上，他也是一位名副其实的发明者．数学与软件科学学院数学简史费马的解析几何费马的研究工作是以古希腊阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》为出发点的．他在《平面与立体轨迹引论》的开头写道：“毫无疑问，古人对于轨迹写得非常多…．可是，如果我没有想错的话，他们对于轨迹的研究并非是那么容易的．原因只有一个：他们对轨迹没有给予充分而又一般的表示．”费马认为给轨迹一般表示只能靠代数．他很熟悉韦达的代数工作，又受到前人用代数解决几何问题的启发，所以他着手解决轨迹的一般表示的问题时，就毫不犹豫地求助于代数．他不仅使代数与几何结为伴侣，更重要的是他把变量思想用于数学研究，这正是他创立解析几何的主要思想基础．数学与软件科学学院数学简史费马的解析几何费马的具体做法是：考虑任意曲线和它上面的任意点M，M的位置用A，E两字母表出，其中A是从点O沿底线到点Z的距离，E是从Z到M的距离．他所用的坐标就是我们所说的斜坐标，A，E相当于x，y．费马说：“只要在最后的方程里出现两个未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线．”数学与软件科学学院数学简史笛尔儿与费马的工作对比笛卡尔费马目的竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作《论平面轨迹》给出方法论在数学上的一个例子途径先研究轨迹，然后求其方程先研究方程，然后求其轨迹时间1637年1630年思想笛卡尔批评了希腊人的传统，主张和这个传统决裂。费马着眼于继承古希腊的思想，认为自己的工作是重新表述了阿波罗尼奥斯的工作。数学与软件科学学院数学简史解析几何学的意义解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。数学与软件科学学院数学简史这种对应关系的建立，不仅标志着函数概念的萌芽，而且标明变数进入了数学，使数学在思想方法上发生了伟大的转折——由常量数学进入变量数学的时期。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”笛卡儿的这些成就，为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为一大批数学家的新发现开辟了道路。