概率论基础(复旦版)李贤平第五章

《概率统计》下页结束返回吴鹏飞统稿江西师范大学数信学院《概率统计》下页结束返回§5.2中心极限定理一、同分布中心极限定理二、棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理下页《概率统计》下页结束返回例3．设X和Y是两个互相独立的随机变量，且X～N(0,1),Y～N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度.解：由于X,Y互相独立，由卷积公式得dxxzfxfzfYXz)()()(dxexzx}2)(2{22212zxtdxeezxz22)2(421dteetz22421224411.222zzeedxeexzx2)(2222121下页从而有，Z=X+Y～N(0,2).§3.3二维随机变量函数的分布-回顾《概率统计》下页结束返回①若X1~N(m1,s12),X2~N(m2,s22),且X1,X2相互独立，则有2111~(,).nnniiiiiiXNms下页②若Xi~N(mi,si2),(i=1,2,…,n),且Xi(i=1,2,…,n)为n个相互独立的随机变量，则有例3结论的推广③特别：若Xi~N(m,s2),(i=1,2,…,n),且Xi(i=1,2,…,n)为n个相互独立的随机变量，则有21~(,).niiXNnnmsX1+X2~N(m1+m2,s12+s22).《概率统计》下页结束返回smnnXYnkkn121212lim()lim.ntkxknnnXnFxPxedtnmsE(Xk)=m，D(Xk)=s2≠0，k=1,2,…则随机变量§5.2中心极限定理下页定理3(同分布中心极限定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望和方差，即的分布函数Fn(x)对任意的实数x，都有《概率统计》下页结束返回例1．设随机变量X1,X2,…,X20相互独立，都服从U(0,1)均匀分布,令Y20=X1+X2+…+X20，求P{Y20≤9.1}.解：P{Y20≤9.1}依题意知,X1,X2,…,X20相互独立,且E(Xi)=1/2,12/120)2/1(201.912/120)2/1(2020YP.21lim)(lim212dtexnnXPxFxtnkknnnsm下页D(Xi)=1/12，i=1,2,…,20，由同分布中心极限定理得=P{Y20－20×(1/2)≤9.1－20×(1/2)}7.012/120)2/1(2020YP.2420.0)7.0(《概率统计》下页结束返回221lim.(1)2txnnnpPxedtnpp1,nniiX(),(),1,2,,,1.kkEXpDXpqknqp其中由独立同分布中心极限定理可得lim.(1)nnnpPxnpp证:由于服从二项分布的随机变量和n可看作n个相互独立的都服从参数为p的(0-1)分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和，即下页定理4(棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理)设随机变量n服从参数为n,p的二项分布(n=1,2,…,0p1),则对于任意实数x恒有1limnkknXnPxnms2212txedt即若n～B(n,p),则[n－E(n)]/D(n)～N(0,1)!《概率统计》下页结束返回例2．一批种子,其中良种占1/6,在其中任选6000粒,试问在这些种子中,良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率是多少？解：设X表示取6000粒种子中的良种粒数,则X~B(6000,1/6),np=6000×(1/6)=1000,npq=6000×(1/6)×(5/6).10.0160006XP160000.01600061515600060006666XP(2.078)(2.078)0.96.下页设所求概率为1600060.016000XP1600062.07815600066XP由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理得《概率统计》下页结束返回解:设应抽查n件产品,其中次品数为Y，则由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理得10-0.1-0.1-0.1{10}0.10.90.10.90.10.9nYnnnPYnPnnn10-0.1(3)-()0.3nnn10-0.11-(),0.3nn10-0.11-()0.9,0.3nn要使10-0.11.29,0.3nn只须得147,n即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9．下页Y~B(n,0.1),E(Y)=0.1×n,D(Y)=0.1×0.9×n.例3.在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品．设产品的次品率为10﹪，问至少应抽查多少个产品检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？《概率统计》下页结束返回作业：123-124页3,6,7要求：请认真研读P118-123教材内容.结束